원운동과 만유인력

원운동과 만유인력 물리,수학 2006.04.08. 10:00

1. 주기와 진동수의 관계


여기서 m은 질량, 은 실의 길이, F는 단진동시키려는 힘이다.

옆의 그림처럼 운동하는 추에서 주기란 추가 한번 왕복하는 시간이다. 그러므로 주기가 크다는 것은 왕복하는 시간이 많이 걸리는 것이므로 운동이 늦다는 뜻이 된다. 한번 왕복하는데 1/50초가 걸리면 주기가 1/50초가 되는 것이다.
그런데 우리는 운동하는 추가 1초동안에 몇 번 왕복할까 궁금할 때가 있다. 이때 1초 동안 추의 왕복 수를 세어보니 50번이었다면, 이것을 두고 진동수가 50Hz라고 하는 것이다. 그러면 진동수가 크다는 것은 1초 동안에 왕복하는 수가 많다는 것이니까 빠르다는 것이 된다.
그러면 주기(T)와 진동수(υ)는 어떤 관계가 있을까? 예를들어 한번 왕복하는데 1/50초 걸리는 추가 있다면, 1초에는 몇 번 진동할까? 50번 진동하게 될 것이다. 즉 주기(T)가 1/50초이면 진동수(υ)가 50Hz가 된다는 말이다. 그러므로 이 둘은 역수 관계가 된다. 즉 T·υ=1이 된다.

 

 

2. 선속도와 각속도의 비교


 옆의 그림은 등속 원운동을 나타낸다. 여기서 물체의 빠르기를 나타내는 방법은 두가지가 있다. 하나는 보통 우리가 알고 있는 속도와 같은 개념인 선속도(v)가 있는데 이것은 한바퀴 도는 동안(주기 T동안) 이동한 호의 길이(원둘레 2πr)를 이용해 표현한다. 그러므로 로 나타낼 수 있다.
각속도는 한바퀴 도는 동안(주기 T동안) 이동한 각의 크기(360도를 호도법으로 나타내면 2π라디안이 된다)를 이용해 표현한다. 그러므로 로 나타낼 수 있다.
그러면 이제 선속도와 각속도의 관계를 알아보면 와 같이 나타낼 수 있다. 유도과정은 교과서를 참고하기 바라며 여기서는 그 뜻만 설명하려한다. 의 뜻은 같은 각속도라도 반지름이 크면 선속도가 커져서 더 빠르게 회전한다는 뜻이다. 그 예로 같은 회전수를 갖는 바퀴라도 반지름이 큰 바퀴를 이용하면 자전거가 더 빨라진다는 것을 생각해 보면 이해가 갈 것이다.

 

3. 구심 가속도의 방향과 힘의 방향
               

가  로 되기 위해서는 의 방향으로 힘을 받아 그 방향으로 속도변화가 일어나야 한다. 즉, 속도 변화는 힘의 방향으로 일어나야 하므로 이 둘은 항상 같은 방향이 된다. 또, 가속도는 1초 동안에 일어나는 속도의 변화이므로 그 방향은 역시 힘의 방향과 같다.
이상의 이야기를 종합하면 속도의 변화의 방향=힘의 방향=가속도의 방향의 관계가 성립한다. 이 원리는 원운동 이외의 경우에도 항상 성립하는 원리이다.
위의 오른쪽 그림에서와 같이 일반적으로 곡선운동에서는 가속도의 방향이 곡선의 중심쪽을 향한다. 여기서는 원의 중심쪽을 향하고 있다.
가속도를 구하는  일반적인 공식으로 원운동이든 아니든 언제나 사용할 수 있는 것은 이다. 그러나 원운동에서만 특별히 사용할 수 있는 가속도 구하는 공식으로는 이 있다.  여기서 r은 반지름, v는 선속도, ω는 각속도이다.

 

4. 구심력과 일반적인 힘의 형태 비교


구심력을 표현하는 공식은 으로 표현된다. 그런데 여기서 질량은 원운동 중심에 정지해 있는 물체의 질량이 아니라 그 주위를 돌고 있는 물체의 질량이다. 옆의 그림에서는 돌고 있는 물체는 고무마개이다. 그러므로 여기서 m은 손과 막대의 질량이 아니고 고무마개의 질량이다. 는 원운동에서만 사용할 수 있는 공식이며, 원운동 이외에도 힘(F)을 구할 때 항상 쓸 수 있는 식은 F=ma이다. 여기서 a는 가속도이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

5. 구심력의 여러 가지 성질


여기서는 구심력의 여러 가지 성질을 알아보자. 원운동에서 구심력이 크다는 것은 회전하기가 힘들다는 뜻이 된다.
1.반지름이 일정한 원운동에서 구심력의 크기는 물체의 질량이 크거나 속력이 빠를수록 크다.
쉽게 설명하면 같은 커브길을 달리더라도 짐을 많이 실거나 속력이 빠른 차일수록 그 커브를 돌기 어렵다는 뜻이다.
식으로 표현해 보면 (단, r=일정)

2.물체의 질량과 속력이 일정할 때에는 원의 반지름이 작을수록 구심력이 커진다.
위의 그림을 보면 알 수 있듯이 반지름이 작다는 것은 급커브를 말한다.(A가 B보다 더 급커브이다.) 그러므로 같은 질량이고 같은 속력이라도 급커브는 돌기 어렵다는 뜻이다.
식으로 표현해 보면 (단, m=일정, v=일정)

3.물체의 질량과 반지름이 일정할 때 구심력은 주기의 제곱에 반비례한다.
이 말은 같은 양의의 짐을 실고 같은 커브길을 가더라도 천천히 돌 때(주기가 커지면) 더 쉽게(구심력이 작게) 돌 수 있다는 뜻이다.
식으로 표현해 보면 (단, m=일정, r=일정)

 

 

6. 관성력의 개념


    

 위의 그림(가)처럼 자동차 밖에서 정지한 사람이 볼 때 손잡이는 실의 장력 T와 중력 mg가 합쳐져 만들어진 힘 ma를 받아 가속도 a로 등가속도 운동을 한다. 손잡이는 등속운동을 할 때 원래 자리로 돌아가 수직이 될 것이다. 그러나 지금은 일정한 가속도로 점점 빨라지는 경우이기 때문에 원래의 위치로 돌아가지 못하며, 그 결과 손잡이는 계속 기울어져 있는 상태로 자동차와 같이 점점 빠르게 가속되어간다고 할 것이다.

그러나 그림(나)와 같이 자동차와 함께 운동하는 사람이 볼 때 사람은 손잡이와 같이 가면서 보기 때문에, 손잡이는 기울어진 채로 계속 정지해 있는 것으로 보인다. 그런데 계속 정지해 있다는 것은 관성의 법칙에 의해 같은 운동 상태를 유지한다는 것이니까, 외력이 없어야 가능한 일이다. 그러나 손잡이에는 실제로 ma라는 힘이 작용하고 있으므로 외력이 없다고 할 수 없다. 그래서 이론적인 모순이 생긴다.
이런 모순을 없애기 위해서는 ma를 상쇄시키는 어떤 힘이 필요하게 된다. 그래서 ma와 크기는 같고 방향이 반대인 힘 F를 그림(나)에서 도입하게 된 것이다. 이것은 이론적으로 관성의 법칙을 성립시키기 위해서 도입한 힘이며, 관성의 법칙과 관계되므로 이름을 관성력이라고 부른다. 그러나 이 힘은 뒤에서 누가 F의 크기로 실제로 잡아 당겨서 만든 힘이 아니므로, 이 힘에는 힘을 발휘하는 실체가 없다. 그래서 이런 힘을 가상적인 힘이라한다.
그림(가)의 ma는 T와 mg가 합쳐져서 만든 실체가 있는 힘이지만, 그림(나)의 F는 이런 이 힘의 실체가 없다는 점에서 가상적인 힘이 되는 것이다. 자동차를 타고 가는 동안 속도가 변할 때 넘어지려는 힘을 느낀 경우가 있을 것이다. 이런 넘어지게 하려는 힘이 관성력이다. 그러나 이 때 우리를 넘어지게 하려고 우리를 밀거나 당기는 실체(사람이나 물건)는 없었다. 그래서 관성력은 실체가 없는 가상적인 힘이 되는 것이다.

7.구심력과 원심력의 관계


           

위의 그림에서 는 구심력이고, 는 원심력이다. 원운동하는 물체는 바깥으로 튕겨나가지 않도록 항상 안쪽으로 당겨주는 힘이 필요하다. 이 힘을 구심력이라 하며 이 힘은 줄로 당기든지 용수철로 당기든지 전기나 자기의 힘으로 당기든지 이외의 여러 가지 또 다른 방법으로 만들 수 있다. 구심력은 힘을 발휘하는 실체가 있는 힘이다.
왼쪽의 그림에 있는 정지한 사람이 볼 때 물체는 용수철로부터 구심력을 받아 원운동을 한다고 말할 것이다.

오른쪽의 그림처럼 물체와 같이 원운동하는 사람이 볼 때는 물체가 계속 정지한 상태로 관측될 것이다. 그런데 계속 정지해 있다는 것은 같은 운동상태를 유지한다는 것이니까 외력이 없어야 가능한 일이다. 그러나 원운동하는 물체에는 실제로 의 구심력이 작용하고 있으므로 외력이 없다고 할 수 없다. 그래서 이론적인 모순이 생긴다.
이런 모순을 없애기 위해서는 를 상쇄시키는 어떤 힘이 필요하게 된다. 그래서 와 크기는 같고 방향이 반대인 힘 를 오른쪽 그림에서 도입하게 된 것이다. 이것은 이론적으로 관성의 법칙을 성립시키기 위해서 도입한 힘이며, 관성의 법칙과 관계되므로 이름을 관성력이라고 부른다. 그런데 원운동에서는 이런 관성력을 특별히 원심력이라 한다. 그러나 원의 바깥쪽에서 누가 의 크기로 실제로 잡아 당겨서 만든 힘이 아니므로 이 힘에는 힘을 발휘하는 실체가 없다. 그래서 이런 힘을 가상적인 힘이라한다.
왼쪽의 그림에서 는 용수철이라는 실체가 만든 힘이지만, 오른쪽 그림의 는 바깥에서 당기는 실체가 없다는 점에서 가상적인 힘이 되는 것이다. 자동차를 타고 가는 동안 커브를 돌 때 바깥쪽으로 넘어지려는 힘을 느낀 경우가 있을 것이다. 이런 넘어지게 하려는 힘이 원심력이다. 그러나 이 때 우리를 넘어지게 하려고 바깥으로 당기는 실체(사람이나 물건)는 없었다. 그래서 원심력은 실체가 없는 가상적인 힘이 되는 것이다.

 

 

8. 단진동은 등가속도 운동이 아니다.


옆의 그림처럼 일정한 길을 왕복하는 운동을 단진동이라 하는데, 이 때 길이가 늘어났을 때와 줄어들었을 때 작용하는 힘의 방향이 다르다. 그리고 변한 길이 x가 크고 작음에 따라 힘의 크기도 크고 작아지게 된다.
이렇게 힘의 크기와 방향이 일정하지 않고 변하기 때문에 이 때 생기는 가속도는 크기와 방향이 변하게 된다. 그래서 단진동은 등가속도 운동이라 할 수 없게 되는 것이다.
x가 늘어났을 때는 줄어들게하는 쪽으로, x가 줄어들었을 때는 늘어나게하는 쪽으로 힘 F가 작용한다.
즉 F는 x와 항상 반대 방향이므로 kx 앞에 항상 (-)를 붙여서 단진동의 힘을 나타내고 있다. 즉, F= - kx 가 된다.
예를들어 F가 +5이면 kx는 -5, F가 -5이면 kx는 5라고 할 때(즉 두 개의 물리량 F와 kx이 항상 반대 부호를 갖는다고 할 때), 이들을 서로 같게 만들려면 +5= - (-5), -5= - 5와 같이 (-)부호 하나가 필요하게 되는 경우와 같다.
참고로 단진동에 작용하는 힘의 방향을 한마디로 요약하면 중심쪽이라고 할 수 있다. 그래서 x와 F는 항상 반대 방향이므로 위의 (-)부호에는 이런 뜻도 내포되어 있다.
 

9. 단진동과 원운동의 관계


어떤 물체가 원운동을 하고 있을 때 그 물체의 그림자의 운동을 x축 방향과 y축 방향으로 나누어서 다룰 수 있다. 이 때 이 그림자들은 원운동 대신에 최대 변위인 진폭 A 사이를 왕복하게 되는데 이것을 단진동이라 한다. 그래서 원운동은 직각 성분 2개의 단진동이 결합된 운동이라 할 수 있다. 위의 그림은 p점에서 출발해 원운동하는 물체에서 y축상의 그림자 운동을 나타낸 것이다. 만약 x축상의 그림자 운동을 나타낸다면 x=Acos(ωt+φ)가 된다. 출발점의 위상을 φ가 아닌 0도에서 시작한다면 삼각함수 그래프가 좀 더 알기 쉬울 것이다.
원운동에서는 속도의 크기나 가속도의 크기가 항상 일정하지만 단진동에서는 시간에 따라 끊임없이 변한다.

10. 각속도와 진동수의 관계


한 바퀴 도는데 이동한 각은 360°인데, 이것을 호도법으로 나타내면 2π라디안이 된다. 만약 1초 동안에 한 바퀴 돈다면 1초 동안에 이동한 각은 360° 즉 2π라디안이 된다. 그래서 1초 동안에 이동한 각은 2π에 1초 동안에 몇바퀴 도는지 알아서 곱해주면 될 것이다.
1초 동안에 이동한 각(각속도 ω) = 2π(한 바퀴 돌 때 이동한 각)  × 1초 동안에 회전한 바퀴수(진동수 υ) 이다. 그러므로 ω=2πυ 이다.

11. 단진동의 원인이 되는 힘은 여러 가지이다

                                                                                             단진동의 원인을 제공하는 힘은  여러 가지가 있을 수 있다. 예를들면 왼쪽 그림의 단진동의 힘은 이고, 오른쪽 그림의 단진동의 힘은 F= -kx 이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그러나 이렇게 다양한 힘들이 단진동을 일으키지만 왼쪽 그림의 힘
(여기서 )로 표현할 수 있다.

또 오른쪽 그림의 힘
(여기서 )로 표현할 수 있다. 

그러므로 어떤 종류의 단진동 힘도 항상 로 표현할 수 있다. 그래서 단진동의 힘은 의 꼴이라고 말할 수 있다.

 

12. 진자의 등시성

          

단진자의 주기 T는 추의 질량이나 진폭에 관계없이 일정하다는 것이 진자의 등시성이다. 진자의 주기 T는 단지 실의 길이에 따라 결정된다는 것이다. 가장 왼쪽 그림에서 처럼 실의 길이가 짧아지면 운동이 빨라져서 주기가 작아진다는 것을 나타낸다.
위의 그림 중에서 왼쪽에 두 개는 단진자이고, 오른쪽의 하나는 단진자가 아니고 용수철진자이다.
진자의 등시성은 단진자에 적용되는 것이며, 용수철 진자에는 그대로 적용되지 않는다. 용수철진자의 주기는 진폭(OA 또는 OB)과는 무관하지만, 추의 질량 m에는 영향을 받아 질량이 클수록 주기가 커져서 운동이 늦어진다.

 

 

13. 케플러의 법칙


 ① 제1법칙(타원궤도의법칙):모든 행성은 태양을 초점으로 하는 타원궤도를 그리면서 운동한다.
② 제2법칙(면적속도 일정의 법칙):태양과 행성을 연결한 선분이 같은 시간에 그리는 면적은 항상 일정하다. ---> 이 말은 태양과 행성이 가까우면 더 빨리 운동하고 멀어지면 더 느리게 운동한다는 뜻이다.
 ③제3법칙(조화의 법칙)
행성의 공전주기T의 제곱은 타원궤도의 긴 반지름 R의 3제곱에 비례한다.
위의 말을 식으로 표현하면 T=kR이 된다. ---> 이 말은 태양과 더 멀리 떨어진 행성은 공전주기가 크고, 가까운 행성은 주기가 작다는 뜻이다. 태양계 안의 모든 행성에 대해 계산했을 때, 모든 행성에 대해 k가 같은 값으로 나와야 이 법칙이 옳다고 볼 수 있다. 그런데 시간의 단위로 '년'을 쓰고, 거리의 단위로 'AU'(천문단위)를 쓴다면 모든 행성에 대해 k=1이라는 것이 확인되므로써 옳다는 것이 증명되었다.

 

 

14. 중력 가속도의 크기


같은 행성이라도 물체의 질량에 따라 중력의 크기는 달라진다. 그러므로 여러 행성들의 당기는 힘을 비교하고자 할 때는 각각의 행성에 같은 크기의 질량을 갖는 물체를 가지고 가서 실험해봐야 한다. 그 표준으로 1kg짜리의 물체를 쓰는 것이 좋은데, 이 1kg짜리 물체가 받는 중력의 크기를 중력 가속도라 한다. 즉, 중력 가속도가 크다는 것은 그 행성이 당기는 능력이 다른 행성보다 크다는 뜻이다.
그런데 행성의 질량이 커지면 중력 가속도가 커지고, 행성의 반지름이 작아지면 행성의 중심에 가까이 접근한 효과가 나므로 중력가속도가 커진다. 만약 지금 지구의 반지름이 작아진다면 지구의 중력 가속도 g는 커진다.
식으로 나타내면 g=GM/R이다. M은 행성의 질량, R은 행성의 반지름이다.
행성의 당기는 능력은 행성의 질량이 커질수록 그리고 반지름이 작아질수록 커진다.

 

15. 인공위성의 조건


 인공위성이란 지구상에서 떨어지지 않고 계속 떠 있는 물체를 말한다. 그런데 모든 물체는 무게가 있기 때문에 계속 떠있지 못하고 결국 떨어지고 만다. 떨어지지 않기 위해서는 물체의 무게를 없애주어야 한다.
질량을 갖지 않는 물체가 없기 때문에 정지한 물체의 무게를 없애는 방법이 없다. 그러나 물체가 원운동을 하면서 무게만한 원심력을 만들면 무게를 없앨 수 있다.
인공위성의 조건은 만유인력=원심력 또는 중력=원심력 이다.
즉, 또는 이다. 이렇게 되면 질량 m인 물체는 무게가 없어져 계속 상공에 떠 있을  수 있게 된다.

 

 

16. 인공위성의 속도


인공위성이 지구와 가까운 고도에서 돌려고 한다면 빠른 속도를, 지구로부터 높은 고도에서 돌려면 늦은 속도로 돌아야 한다. 만약 여기서 너무 빠른 속도로 돌게 되면 지구 중력권을 벗어나 다른 곳으로 가버리게 된다. 이것은 케플러의 제2법칙과 연관이 있는 내용이다.
식으로 표현하면 에서 이다.
인공위성의 속도를 결정하는데 인공위성 자체의 질량은 관계가 없고, 지구의 질량과 거리만 영향을 준다.

17. 지구가 달에 미치는 중력 가속도의 크기


 
지구가 달에 미치는 중력 가속도를 계산하는 방법 두가지
①지구를 중심으로 달이 돌고 있기 때문에 달에 구심가속도로써 지구 중력 가속도가 작용한다.

∴
지구 반지름 R은 이고, 달의 공전 주기 T는 27.3일이다.

②중력은 거리의 제곱에 반비례 한다는 가정에 의해 달에 작용하는 지구 중력 가속도를 구한다.
 
∴
위의 두 가지 방법이 같은 답을 갖는 것으로 보아 ②의 가정이 옳다는 것이다.

 즉 지구 반지름의 60배 거리에 있는 달에서 받는 지구 중력 가속도는 지구 표면에서의 중력 가속도 9.8m/s의 1/3600배인 0.00272 m/s이다.

18. 질량이 스칼라량인 이유


어떤 정지한 물체를 움직이게 하려면, 외부 조건이 동일한 상태에서 어느 방향으로 움직이든간에 질량이 같다면 같은 크기의 힘을 주어야 한다. 즉 움직이는 방향은 힘의 크기에 영향을 주지 못하며, 질량의 크기가 커지면 힘을 더 크게 주어야 하고, 질량의 크기를 작게하면 힘을 더 작게 주어도 된다.
이 때 가해야 할 힘의 크기는 움직이려는 방향에는 무관하고, 질량의 크기에만 관계하기 때문에 질량을 스칼라라고 한다.