이차방정식

이차 방정식

 

이차함수 의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표인 과 는 이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식(Quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

와 같고, 여기서 는 변수, 와 는 각각 의 계수라고 하며, 는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 i로 표기한다.)을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다.

 

목차

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• 1 근의 공식
  • 1.1 근의 공식의 유도
  • 1.2 짝수 공식
• 2 근과 계수의 관계
  • 2.1 근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1
  • 2.2 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2
• 3 같이 보기

근의 공식[편집]

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

, 단, , , 는 실수이고 가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 , 는

이다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로 로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

• 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
• 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

근의 공식의 유도[편집]

에서, 는 이 아니므로 양변을 로 나눌 수 있다.

그런 다음, 상수항을 우변으로 이항하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

양변을 완전제곱식 으로 만들면, 이므로 가 된다. 양변에 를 더해주면,

가 얻어진다. 여기에서 이므로, 좌변은 으로 인수분해된다. 양변을 정리하면

가 얻어지고, 제곱근을 취하면

가 얻어진다.

짝수 공식[편집]

이차 방정식에서 일차항의 계수 가 짝수인 경우 를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

근과 계수의 관계[편집]

근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1[편집]

의 두 근 를 각각

이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

• 

• 

• 

이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2[편집]

의 두근 을 각 라고 정의하고

을 근으로 갖는 이차방정식을 이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수 (단,는 0이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)

먼저 두 번째 이차방정식인 의 계수를 나누고 전개해주면

- ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인 또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항 의 계수 로 나눠주면

- ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서