삼각함수 상호관계

1. 교과서 속 주개념

1) 역수관계

2) 상제관계

3) 제곱관계

sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = cs c²θ
위의 세 식은 임의의 실수 θ에 대하여 성립한다.

4) 제곱관계식의 유도

(1) sin²θ + cos²θ = 1

피타고라스 정리에 의해 증명이 가능하다. 직각삼각형을 전제하고 θ를 기준으로 빗변을 a, 높이를b, 밑변을 c라 하면 a² = b² + c²식이 성립하고 양변을 a²으로 나누게 되면
이며 이므로 간단히 sin²θ + cos²θ = 1이 성립함을 알 수 있다.

(2) 1 + tan²θ = sec²θ
sin²θ + cos²θ = 1의 양변을 cos²θ로 나누게 되면 이므로 간단히 1 + tan²θ = sec²θ이 성립한다.

(3) 1 + cot²θ = cs c²θ
sin²θ + cos²θ = 1 의 양변을 sin²θ로 나누게 되면 간단히 입증이 된다.

[예제]

1. 일 때 tanθ - cotθ의 값을 구하라.

2. sinθ + cosθ = 1 일 때 sin³θ, cos³θ를 두 근으로 하는 이차방정식을 구하라.

정답 및 해설

1.

양변을 제곱하면

①, ②에서

2. (sinθ + cosθ)² = 1 + 2sinθcosθ = 1
∴ sinθcosθ = 0
두 근의 합 ⇒ sin³θ + cos³θ = (sinθ + cosθ)³ - 3sinθcosθ(sinθ + cosθ) = 1
두 근의 곱 ⇒ sin³θcos³θ = 0
∴ x² - x

실용수학

정의되지 않는 점 : sinθ, cosθ는 모든 θ에 대하여 값을 지니므로 모든 실수에 대해 연속이고 tanθ는 (n은 모든 정수)에서 정의되지 않으므로 불연속적이다. sinθ, cosθ의 역수를 각각 cs cθ, secθ로 정의했고 sinθ는 nπ(n은 정수), cosθ는 (n은 정수)에서 '0'의 값을 가지므로 cs cθ, secθ는 각각 nπ(n은 정수), (n은 정수)에서 불연속이고 cotθ는 tanθ가 '0'이 되는 nπ(n은 정수)와 정의되지 않는 (n은 정수)에서 불연속적이다. 불연속인 점에서 함수는 x축에 수직인 직선을 점근선으로 하고 함숫값은 가지지 못한다.

[네이버 지식백과] 삼각함수 상호관계 (통합논술 개념어 사전, 2007.12.15, 청서출판)