엡실론-델타 논법

해석학에서, 엡실론-델타 논법((ε, δ)-論法)은 함수의 극한을 엄밀히 정의한 것이다.

목차

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• 1 역사
• 2 대략적인 개념
• 3 수학적 정의
• 4 활용
  • 4.1 연속
• 5 같이 보기

역사[편집]

1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 최초 (ε, δ) 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

대략적인 개념[편집]

${\displaystyle y=f(x)}$의 그래프가 위와 같을 때, ${\displaystyle \left\vert x-c\right\vert <\delta }$면 ${\displaystyle \left\vert f(x)-L\right\vert <\epsilon }$이다.

함수 ƒ가 있다고 하자.

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

위 식은 x를 c에 충분히 가깝게 하면 함수 ƒ(x)가 L에 가까워지도록 만들 수 있다는 것을 의미한다. 이 때 x가 c와 같아지지 않아도 되며, 심지어 f(c)가 정의되지 않아도 상관없다.

"x를 c에 충분히 가깝게" 에서 x가 c에 가까운 정도는, ƒ(x) 를 L에 가까워지게 할 정도에 따라 다르다. 물론 그것은 함수 ƒ 와 실수 c에 따라 결정된다. 양수 ε는 ƒ(x)가 L에 가까운 정도를 나타낸다. 즉 ƒ(x)와 L의 거리가 ε 이상이 되지 않는다는 것을 의미한다. 양수 δ는 x가 c에 가까운 정도를 나타낸다. 즉 x와 c사이의 거리가 0이 아닌 수 δ보다 작을 경우, ƒ(x)와 L사이의 거리도 ε보다 작아진다. 따라서 δ는 ε에 따라 결정된다. 이러한 극한의 표현법은 ε이 아무리 작더라도, 그에 따라 δ이 충분히 작아질 수 있다는 것을 의미한다.

문자 ε와 δ는 각각 "오차" 와 "거리" 로 이해할 수 있다. 실제로 코시는 그의 연구에서 ε를 "오차(error)" 의 약자로 사용했다. 이러한 관점에서 말하면, 오차 ε는 거리 δ를 감소시키고 싶은 만큼 작게 만들 수 있다. 이러한 정의는 하나 이상의 다변수 함수에서도 성립한다.

수학적 정의[편집]

함수의 극한의 (ε, δ) 정의는 다음과 같다:

c를 포함하는(c에서는 제외) 열린구간에서 정의되는 함수 ƒ 와 실수 L에 대해,

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L\,}$

위 식은 다음을 뜻한다. 임의의 실수 ε > 0 에 대하여 실수 δ > 0 가 존재해서, 0 < |x - c| < δ을 만족하는 모든 x에 대하여, 부등식|ƒ(x) − L| < ε 을 만족한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\ \ \forall x(0<|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-L|<\varepsilon ).}$

다른 많은 정의들에서도 이용되는 이 실부등식은 볼차노와 코시 등에 의해 처음 사용되었고 바이어슈트라스에 의해 정식화되었다.

활용[편집]

연속[편집]

함수 ƒ가 c에서 정의되고 c에서의 함수값이 x가 c에 가까워질 때의 ƒ(x)의 극한값과 같을 때, 함수 ƒ를 c에서 연속이라 한다:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$

조건 0 < |x - c| 가 극한의 정의에서 제외되면, 함수 ƒ(x)가 c에서 극한값을 가져야 하는 것은 ƒ(x)가 c에서 연속이어야 하는 것과 같다고 할 수 있다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0\ \ \forall x(|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(c)|<\varepsilon ).}$