직선의 방정식 구하는 공식들

[질문]

다음 문제에서 요구하는 직선의 방정식을 구하시오.

[1] (2,3)을 지나고 기울기 -2인 직선의 방정식

[2] (2,4)를 지나고 x축 45˚인 직선의 방정식

[3] (-1), (-2)와 4x+3y-2=0 사이의 거리

[4] A(1,3) , B(2,4) , 선분 AB를 1:2로 나눈 내분점의 좌표

[5] A(2,5), B(-2,-3), C(-1,-3)의 무게중심좌표

[해설과 정담]

좋은 질문입니다. 이것은 직선의 방정식에 대한 공식을 정확히 알고 계시다면 쉬운 질문입니다. 함께 생각해 보시지요.

우선 직선의 방정식에 대한 공식은 다음의 3가지 유형이 있습니다.

(1) 기울기가 m 이고, y 절편이 n 인 직선의 방정식은

→ y = mx + n

(2) 기울기가 m 이고, 한 점 (x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식은

→ y - y₁= m(x - x₁)

(3) 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식은

→ y - y₁= {(y₂- y₁)/(x₂- x₁)}×(x - x₁)

이 공식들은 어려운 것 같지만 사실은 매우 쉽습니다.

(1)에서부터 조건이 변해감에 따라 공식이 어떻게 변하는지에 초점을 맞추어 생각해보면 모두 (1)공식을 변형하여 얻을 수 있습니다.

그러면 문제를 보도록 하실까요?

[1] (2,3)을 지나고 기울기 -2인 직선의 방정식은 위의 (2)번 공식에 해당하므로, 공식에 대입하면 됩니다.

즉, 기울기 m = -2 이고, 한 점 (x₁, y₁) = (2,3)이므로,

y-3 = -2(x-2) 이고

이 식에서 괄호를 풀고 정리하면,

y-3 = -2x+4에서

y = -2x+7

이해되시지요?

[2] (2,4)를 지나고 x축 45˚인 직선의 방정식에서, 이 직선이 x축과 45˚인 각을 이루므로, 이와 같은 직선의 기울기는 1임을 아셔야합니다. 그렇지요? 따라서 공식 (2)을 적용하면 되겠습니다.

위와 같은 방법으로 하면, m = 1 이고, 한 점 (x₁, y₁) = (2,4)이므로,

y-4 = 1×(x-2)이고,

이 식을 정리하면, y = x+2가 나옵니다. 그렇지요?

[3] (-1), (-2)와 4x+3y-2=0 사이의 거리를 구하는 문제인데, 앞쪽은 (-1, -2)로 놓고 푸셔야하겠네요? 그렇지요?

이것은 한 점 P(x₁, y₁)에서 직선 ax+by+c = 0에 그은 수선의 발을 점 Q 라고 할 때, 선분 PQ의 길이를 이 점에서 직선 ax+by+c = 0에 이르는 거리라고 하는데, 이 거리 PQ를 구하는 공식은 PQ = |ax₁+ by₁+c|/(√a² +b²)입니다. 이 공식에 대입하면,

((x₁= -1), y₁= -2, a=4, b=3, c=-2이므로,

PQ

= |4×(-1)+ 3×(-2) - 2|/√(4² +3²)

= |-4-6-2|/√(16 +9)

= 12/√25

= 12/5

아시겠지요?

[4] 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)사이를 m:n 으로 내분하는 점 P(x, y)의 좌표는

x = (mx₂+nx₁)/(m+n), y = my₂+ny₁)/(m+n)이므로,

두 점 A(1,3) , B(2,4) 사이의 선분 AB를 1:2로 나눈 내분점의 좌표는 공식에 대입하면,

x₁= 1, y₁= 3), x₂=2, y₂= 4이고, m=1, n=2 이므로,

이 두 점 사이의 내분점의 좌표를 점 P(x, y)라고 하면,

x = (1×2+2×1)/(1+2) = 4/3

y = (1×4+2×3)/(1+2) =10/3입니다. 따라서 구하는 점 P의 좌표는 P(4/3, 10/3)입니다. 이해되시지요?

[5] 세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)으로 이루어지는 삼각형의 무게중심의 좌표를 G(x, y)라고 하면,

x = (x₁+x₂+x₃)/3, y = (y₁+ y₂+ y₃)이므로,

A(2,5), B(-2,-3), C(-1,-3)의 무게중심좌표는 위의 공식에

x₁=2, x₂= -2, x₃= -1 그리고 y₁=5, y₂=-3, y₃=-3을 각각 대입하면 됩니다.

따라서 구하는 무게중심의 좌표 G(x, y)는

x = (2 - 2 -1 )/3 = -1/3, y = (5-3-3)/3 = -1/3이므로,

G(-1/3. -1/3)입니다. 아시겠지요?

[출처] 직선의 방정식 구하는 공식들|작성자 가방