기둥의 겉넓이와 부피/뿔의 겉넓이와 부피/구의 겉넓이와 부피

3. 기둥의 겉넓이와 부피/뿔의 겉넓이와 부피/구의 겉넓이와 부피

 

1. 기둥의 겉넓이와 부피 

우리 주위에는 여러 기둥이 있지요?
삼각기둥, 사각기둥, 오각기둥, 원기둥 등등..

chap.1에서는 기둥의 겉넓이와 부피에 대해 알아볼게요^^

먼저 각기둥입니다.

위 그림에 삼각기둥과 사각기둥이 나란히 있네요.

한 번 겉넓이부터 구해볼까요?

겉넓이는 아시다시피 모든 면의 넓이를 다 더해줘야 합니다. 기둥에 따른 면의 개수는 Geometry 2때 언급했으니 중복하지 않을게요^^
일반적으로 각기둥의 겉넓이는 2(한 밑면의 넓이)+옆넓이로 구하는 것은 모두 알겠지요?

그럼 이제 각기둥의 부피를 알아볼까요?
부피는 한마디로 말씀드리면 공간이라 할 수 있겠네요.

각기둥을 밑면과 평행하게 잘게 쪼개보면 밑면과 같은 모양이 여러 개 쌓여 있는것을 알수 있는데요, 이것은 밑면이 높이만큼 쌓여있다는 것이죠.

밑면의 넓이를 S, 높이를 h라고 하면, 각기둥의 부피 구하는 공식은 Sh가 되겠네요.

그럼 조금 더 어려운 원기둥의 겉넓이와 부피로 가볼까요?><

 

여기 밑면의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원기둥이 하나 있습니다. 이 원기둥의 겉넓이와 부피를 구해볼까요?

위 원기둥의 전개도를 그려보면 아래 그림과 같이 되겠죠?

전에 말했듯이 겉넓이는 (밑면의 넓이*2+옆넓이)라고 했죠? 그럼 위 원기둥의 전개도에서는( 두 원의 넓이+직사각형의 넓이)가 되겠군요.

그럼 한 원의 넓이는 ∏r²이니 두 원의 넓이는 2∏r²이겠네요.

그럼 이제 직사각형의 넓이를 구해봅시다. 직사각형의 넓이는 (가로*세로)입니다. 가로=밑면(원)의 원주의 길이=2∏r이고, 세로의 길이는 h이므로 직사각형의 넓이는 2∏rh가 되겠네요.

따라서 원기둥의 겉넓이는 이를 다 더한 것이므로 (2∏r²+2∏rh)가 되겠습니다.

이제 부피를 구해볼까요? 부피도 전에 말했듯이 (밑면의 넓이*높이)입니다.

밑면은 원이므로 넓이는 ∏r²이고, 높이는 h이므로 원기둥의 부피는 간단히 ∏r²h가 되겠습니다^^

 

2. 뿔의 겉넓이와 부피

chap.2에서는 기둥이 아닌 뿔에 대해서 알아볼게요.

고깔모자, 피라미드 등 뿔도 주위에 많네요.

그럼 우선 각뿔의 겉넓이와 부피부터 알아보겠습니다^^

각뿔의 겉넓이 역시 각기둥의 겉넓이와 마찬가지로 구하면 됩니다.

각기둥과 마찬가지로 밑면과 옆면을 모두 더하면 되지만 각뿔은 밑면이 하나이므로 하나만 더해야겠죠?

그럼 각뿔의 겉넓이는 (밑넓이+옆넓이)로 간단하게 구할 수 있겠습니다.

이제 부피를 구해볼까요?

각뿔의 부피는 각기둥의 부피를 응용해야 합니다.

고대 사람들이 모양과 밑면의 변의 길이, 높이가 모두 같은 각기둥과 각뿔을 가지고 실험을 해봤답니다. 그랬더니 각뿔로 3번을 채워야 각기둥에 꽉채워진다고 하네요. 굳이 수식으로 풀자면 미분적분까지 가야됩니다 ㅋ; 이해 못하실 거에요 ㄷㄷ

어쨌든 각뿔의 밑면의 넓이를 S, 높이를 h로 놓는다면 각뿔의 부피는 각기둥의 부피의 1/3이므로 1/3Sh가 되겠군요.

 

이제는 원뿔의 겉넓이와 부피에 대해 알아봅시다.

위 그림은 밑면(원)의 반지름이 r, 모선의 길이가 l인 원뿔과 원뿔의 전개도를 나타낸 것입니다.

겉넓이는 밑면+옆면이므로 (원의 넓이+부채꼴의 넓이)가 되겠군요.

일단 원의 넓이는 ∏r²이고, 부채꼴의 넓이를 구해볼게요.

부채꼴의 넓이는 (1/2*호의 길이*반지름의 길이)입니다.(다음 시간에는 이것에 대해 할게요^^)
호의 길이는 원인 밑면의 둘레의 길이, 즉 원주와 같으므로 2∏r이고요, 반지름은 l이므로

부채꼴의 넓이=(1/2*2∏r*l) = ∏rl이 되겠습니다.

따라서 원뿔의 겉넓이 구하는 공식은 (∏r²+∏rl)이 되겠습니다^^

부피도 쉬워요..ㅋ

원뿔의 부피 역시 원기둥의 부피의 1/3일테죠.

그러므로 원뿔의 부피 = (원기둥의 부피*1/3)= (∏r²h*1/3) = 1/3∏r²h가 되겠습니다^^

 

3. 구의 겉넓이와 부피

드디어 마지막 챕터입니다!!
구의 겉넓이와 부피!

위 첫번째 그림은 반지름의 길이가 r인 4개의 고무공을 한 변의 길이가 (2r*2)인 상자에 넣은것이고, 두번째 그림은 하나의 고무공을 일정한 간격으로 잘라 원모양으로 늘어놓은 것입니다.

두 번째 그림에서 원모양으로 늘어놓은 원의 넓이가 바로 구의 겉넓이가 되는것 다 이해하시죠?

그렇다면 그림2에서 원의 반지름은 2r이고, 원의 넓이 구하는 공식은∏ r²이므로 r에 2r을 대입하면

구의 겉넓이=∏(2r)²=4∏r²이 되네요.

즉, 반지름의 길이가 같은 원이 4개 있어야 반지름의 길이가 같은 구의 겉넓이가 된다는 거네요.

 

대망의 마지막!! 구의 부피만 구하면 오늘 공부방은 끝!

위 사진은 밑면(원)의 반지름의 길이가 r, 높이가 2r인 원기둥 모양의 물통에 구를 담갔다가 꺼낸 것입니다. 어, 그러니 꽉 차있던 물이 전체의 1/3밖에 남지 않았네요??
그렇다면 구의 부피는 나머지 넘쳐흐른 전체의 2/3의 물의 부피와 같다는 말이군요!

먼저, 원기둥의 부피를 먼저 구하면 반지름이 r, 높이가 2r이므로 총 부피는 ∏ r²h에 따라 2∏r³이 됩니다. 이 때, 구의 부피는 전체 원기둥 부피의 2/3이므로   

구의 부피=(2/3*2∏r³) = 4/3∏r³ 이  되겠네요!                                                                                                      

 

와, 드디어 끝났습니다...

지금까지 길고 긴 설명을 봐주셔서 감사합니다...(꾸벅)

혹시 이해안되시거나 궁금하신 것 댓글로 남겨주시면 아는껏 설명해드릴게요!

잘못된 것 있으면 지적해주세요!
그럼 안녕히계세요!!

(참고 : 그림 - 인천e스쿨 편집 / 설명 - 자작

퍼가시려면 덧글로 허락맡고 퍼가세요!)

[출처] [Geometry] 3. 기둥의 겉넓이와 부피/뿔의 겉넓이와 부피/구의 겉넓이와 부피|작성자 종놀씌