대칭 차집합

저렇게 표현되는 집합입니다. 좀 짜증나게 생겼는데, 한번쯤 다들 보셨을 형태입니다. ㅋ? 

그림으로 표현하면 왜 이름이 대칭차집합인지 압니다. 

색칠된 부분이 바로 대칭차집합의 원소가 속한 구역입니다. 

저렇게 양옆으로 대칭된 형태를 띄니까 그런 이름이 붙은거 같네 

아무튼, 이 대칭차집합의 간단한 성질만 알고 넘어갑시다. 깊이 알아봤자 별 도움 안되요 

대칭차집합을 나타내는 여러가지 표현들입니다. 꼭 알아두시길 바라요 

여기에 드모르간의 법칙을 사용해서 2개를 추가할수도 있지만, 쓸데없는거 같아 여기까지만...ㅋ 

잘보면 본질적으로 다른 형태는 2개고, 나머지는 차집합과 교집합을 적절히 바꾼거죠 

증명은 벤 다이어그램으로 하시길 바랍니다.  괜히 집합 연산으로 할려다간 너무 복잡합니다. 

저는 첫번째 표현만 증명해볼께요, 딱히 나머지를 해야할 필요성을 못느껴서 

대칭차집합의 연산에서는 교환, 결합은 성립하지만, 분배법칙은 성립하지 않는군요 

뭐든 연산이 하나 나오면, 꼭 확인해야할 사항이, 위의 세 법칙이 성립하냐 아니냐를 따져야죠 

그리고 또 하나 확인해야 할 사항이 하나 있죠, 그건 바로바로...두근두근 

연산에는 항등원이 있을수도, 없을수도 있는데요, 다행히(?)  대칭차집합 연산에서는 

항등원은 공집합이고, 역원은 자시 자신이네요, 자기자신이 역원이라 신기한데? ㅋ 

역원은 행렬로 따지면, 역행렬  함수로 따지면  역함수같은걸 말하는겁니다. 알아두길 

역원과 항등원을 증명하는 간단한 방법입니다.  집합의 기본적인 연산으로 OK죠 

벤 다이어그램으로 증명하셔도 문제 없습니다. 

대칭차집합이 특이한 케이스로 등장할때 집합의 관계를 할수 있는데요, 

1번과 3번은  역원, 항등원으로 증명이 된거라 치고 넘어갑시다. 

조금 특이한 케이스를 증명해보면, 합집합의 항등원은  공집합이라는거 아시죠? 

그럼 B-A 가 공집합이라는거고, B에만 잇는 원소가 없다는거고, 그럼 B의 원소는 모두 A에 속한다는 뜻? 

고로, B는 A의 부분집합이다. ~라는 결론이 나옵니다. 

그럼 마지막으로 3개의 집합에서 대칭차집합이 무슨 모양인지 살펴보고 끝냅시다. 

고등학교 수학이니까, 대칭차집합의 기본들만 훑어보는겁니다 

이렇게 생겼어요,  색칠한 부분이 대칭차집합의 원소가 속해있는 구역입니다.