. 집합
1. 집합의 뜻과 표현
(1) 집합과 원소
① 집합 : 주어진 조건에 의하여 그 대상을 명확히 구분할 수 있는 것들의 모임
② 원소 : 집합을 이루고 있는 대상 하나하나
ex ) a ∈ A
↑ ↑
원소 집합
(2) 집합의 표현
① 원소나열법 : 집합에 속하는 모든 원소를 집합기호 { } 속에 하나하나 나열하는 방법 ex) { 1 , 2 , 3~10}
② 조건제시법 : 집합에 속하는 원소를 { x l x 의 조건 } 의 꼴로 나타내는 방법 ex) { 1 , 2 , 3 ~ }
(3) 원소의 개수에 따른 집합의 종류
① 유한집합 : 원소의 개수가 유한개인 집합
② 무한집합 : 원소가 무수히 많은 집합
③ 공집합 : 원소가 하나도 없는 집합 ( ← 유한집합 )
④ 원소의 개수 : 집합 A가 유한집합일 떄, A의 원소의 개수를 기호 n( A ) 로 나타낸다.
2. 집합 사이의 포함 관계
(1) 부분집합
① 정의 : 집합 A 의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A 를 B 의 부분집합 이라고 한다.
② 서로 같은 두 집합 : 두 집합 A , B 에 대하여 A ⊂ B , B ⊂ A 가 동시에 성립할 때, 집합 A 와 B 는 서로 같다고 하며, 기호로 A = B와 같이 나타낸다.
③ 공집합은 모든 집합의 부분집합이고, 자기 자신의 집합은 그 집합의 부분집합이다.
④ 진부분집합 : A ⊂ B 이고 A ≠ B 일 때 , A 를 B 의 진부분집합이라 한다.
(2) 부분집합의 개수
① 원소가 n 개인 집합의 부분집합의 개수 : 2ⁿ
② 원소가 n 개인 집합에서 특정한 원소 m 개를 반드시 포함하는 부분집합의 개수 : 2 n - m
( n과 m을 2의 오른쪽 바로위에 작게 쓰세요.)
3. 집합의 연산
① 합집합 ( A ∪ B ) A 와 B 에 있는 모든 원소
② 교집합 ( A ∩ B ) A 와 B 두개의 집합 모두에 속하는 원소
A n B 로 되있는게 A 와 B 의 교집합임
③ 차집합 ( A - B ) A 에서 B를 뺀것 즉 A - ( A ∩ B ) 가 된다. A - B 가 정상이다.
④ 여집합 ( 만약 A 의 여집합이라면 A 에 있는 원소를 뺀 나머지의 원소 )
위 그림에서 A 를 뺀 것 즉 동그라미를 뺸 나머지를 색칠 한 것이 A 의 여집합입니다.
(2) 집합의 연산법칙 : 교환법칙 , 결합법칙 , 분배법칙 , 드 모르간의 법칙 등이 있다.
집합의 연산법칙
(1) 교환법칙 ① A ∪ B = B ∪ A ② A ∩ B = B ∩ A
(2) 결합법칙 ① ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ② ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
(3) 분배법칙 ① A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ② A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
DEEP! (4) 드 모르간의 법칙 ① ( A ∪ B )c = Ac ∩ Bc ② ( A ∩ B )c = Ac ∪ Bc
DEEP! (5) 흡수법칙 ① A ∪ ( A ∩ B ) = A ② A ∩ ( A ∪ B ) = A
잠깐! 여기서 A 나 B 뒤에 c 라고 소문자로 쓴 것은 여집합의 기호에요. 이것도 집합 A , B 오른쪽바로위에 작게 쓰세요. 쓰는 법을 몰라서 저렇게 써놨어요.
집합의 연산 ( ⅱ)
대칭차집합
(1) 정의 : ( A - B ) ∪ ( B - A ) = ( A ∪ B ) - ( A ∩ B )
두 집합 A 와 B 중 어느 한 집합에만 속하는 원소들의 집합이다.
(2) 성질 : 교환법칙과 결합법칙이 모두 성립한다.
유한집합의 원소의 개수
① n( A ∪ B ) = n( A ) + n( B ) - n( A ∩ B )
② n( A - B ) = n( A ) - n( A ∩ B ) = n( A ∪ B ) - n( B )
③ n( A ∪ B ∪ C ) = n( A ) + n( B ) + n( C ) - n( A ∩ B ) - n( B ∩ C ) - n( C ∩ A ) + n( A ∩ B ∩ C )
여집합의 원소의 개수 n( Ac ) = n( U ) - n( A )
DEEP!차집합의 원소의 개수 n( A - B ) = n( A ) - n( A ∩ B ) = n( A ∪ B ) - n( B )
DEEP!대칭차집합의 원소의 개수 n((A - B) ∪ (B - A)) = n(A ∪ B) - n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - 2n(A ∩ B)
플러스 정리
(1) 자연수의 표현
짝수 : 2n ( n 은 자연수 )
홀수 : 2n - 1 ( n 은 자연수 )
2. 정수와 유리수
1. 정수와 유리수
(1) 정수
① 양의 정수 : 자연수에 양의 부호 +가 붙은 수
② 음의 정수 : 자연수에 음의 부호 -가 붙은 수
③ 양의 정수 , 0 , 음의 정수를 통틀어 점수라고 한다.
(2) 유리수
두 정수 a, b에 대하여 b분의a (단, b≠0)꼴로 나타낼 수 있는 수
2. 수의 분류
(1) 수의 분류
ㅡ 양의 정수 (자연수) ( ex) +1 , +2 , +3 , ㆍㆍㆍ )
ㅣ
ㅡ정수 ㅡ 0
ㅣ ㅣ
유리수 ㅣ ㅡ 음의 정수 ( ex) -1 , -2 , -3 , ~ )
ㅣ
ㅡ 정수가 아닌 유리수 ( ex) -2분의1 , 3분의1 , 0.01 ㆍㆍㆍ )
(2) 포함 관계
실수와 무리수는 중2나 중3정도때 배웁니다. ^^
(자연수) ⊂ (정수) ⊂ (유리수)
3. 절대값
(1) 절대값
① 정의 : 수직선 위에서 어떤 수 a를 나타내는 점과 원점 사이의 거리
② 표현 : ㅣaㅣ 로 표현
a > 0 이면 ㅣaㅣ = a , a < 0 이면 ㅣaㅣ = -a
③ ㅣaㅣ< b (단, b는 양수) ⇔ -b < a < b
ㅣaㅣ> b (단, b는 양수) ⇔ a < -b 또는 a > b
(2) 중점 a + b
두 수 a , b의 중점 (두 점으로부터 같은 거리에 있는 점)의 자표는 ㅡㅡㅡㅡ 로 계산한다.
2
4. 수의 대소 관계
(1) 양수는 0보다 크고, 음수는 0보다 작다. 즉, (음수) < 0 < (양수)
(2) 양수는 절대값이 클수록 크다.
(3) 음수는 절대값이 클수록 작다.
5. 부등호의 표현
(1) a > b : a 는 b보다 크다. 또는 a는 b초과이다.
(2) a < b : a 는 b보다 작다. 또는 a는 b미만이다.
(3) a ≥b : a 는 b보다 크거나 같다. 또는 a 는 b이상이다. 또는 a 는 b보다 작지 않다.
(4) a ≤b : a 는 b보다 작거나 같다. 또는 a 는 b이하이다. 또는 a 는 b보다 크지 않다.
6. 특정 범위 안의 수와 관련된 대소 비교
a의 영역이 제한되어 있을 때
⇒ 범위 안의 적당한 수를 a에 대입해 본다.
ex) -1 < a < 0 일 때, -a , a분의1 , -a분의1 , a² , ㆍㆍㆍ의 대소 비교
→ a = - 2분의1 을 대입해 본다.
1. 유리수의 덧셈과 뺄셈
(1) 유리수의 덧셈
① 부호가 같은 두 수의 덧셈
두 수의 절대값의 합에 두 수의 공통의 부호를 붙인다.
② 부호가 다른 두 수의 덧셈
두 수의 절대값의 차에 절대값이 큰 수의 부호를 붙인다.
(2) 유리수의 뺄셈
뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더한다.
2. 유리수의 덧셈, 뺄셈의 응용 (Ⅰ)
(1) 덧셈의 계산법칙
① 덧셈의 교환법칙 : a + b = b + a
② 덧셈의 결합법칙 : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
(2) '큰 수' 와 '작은 수'
① a 보다 b 만큼 큰 수 : a + b
② a 보다 b 만큼 작은 수 : a - b
2. 유리수의 덧셈, 뺄셈의 응용 ( Ⅱ)
a ≥ 0 , b≥ 0 일 때,
ㅡ 최대값 : a + b
(1) ㅣxㅣ = a, ㅣyㅣ = b일 때, x + y ㅣ
ㅡ 최소값 : -a - b
ㅡ 최대값 : a - ( - b ) , 즉 a + b
(2) ㅣxㅣ = a, ㅣyㅣ = b 일 때, x - yㅣ
ㅡ 최소값 : ( - a ) - b , 즉 - a - b
3. 유리수의 곱셈의 부호 결정
(1) ( + ) x ( + ) = ( + ) , ( - ) x ( - ) = ( + )
( + ) x ( - ) = ( - ) , ( - ) x ( + ) = ( - )
(2) 임의의 수와 0 의 곱은 0 이다.
4. 유리수의 곱셈과 계산 법칙
(1) 곱셈의 교환법칙 : a x b = b x a
(2) 곱셈의 결합법칙 : ( a x b ) x c = a x ( b x c )
(3) 분배법칙 : a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
5. 유리수의 나눗셈
(1) 역수 : 두 수의 곱이 1이 될 때 한 수를 다른 수의 역수라고 한다.
(2) 유리수의 나눗셈 : 곱셈으로 고친 다음 계산한다.
a ÷ b = a x b분의1 ( 단, b ≠ 0 )
6. 사칙연산의 혼합 계산
(1) 거듭제곱이 있으면 거듭제곱을 먼저 계산한다.
(2) 괄호가 있으면 괄호를 먼저 간단히 한다.
소괄호 ( ) → 중괄호 { } → 대괄호 [ ] 순으로 푼다.
(3) 곱셈, 나눗셈을 먼저 차례대로 계산한다.
(4) 덧셈, 뺄셈을 차례대로 계산한다.
여기까지 2단원 전부입니다. (총 쓰고 생각하고 정리하는데 2시간 반 ㅎㅎ) 손수 제가 생각한거에요.
그리고 손수 제가 썻구 손수 제가 정리하구요.. 그래서 시간이 넘 오래걸림 ㅜ 배낄거 있으면 좋겠네.
이제 3단원인 문자와 식에 대해서 가르쳐 드리겠습니다. ^_^
3. 문자와 식
1. 문자의 사용
(1) 문자를 사용한 식
① 문자식 : 수량 사이의 관계를 문자를 사용하여 나타낸 식
② 문자식 세우기 : 문제의 뜻에 따라 문자를 정하고 문자 사이의 규칙을 찾아 식을 세운다.
2. 곱셈식과 나눗셈식을 쓰는 방법
(1) 곱셈식을 쓰는 방법
① 수는 문자 앞에 쓴다.
② 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 나타낸다. ㅡㅡ>> (-3) x a x a x b x c = -3a²bc
③ 문자끼리의 곱은 알파벳 순서로 쓴다. ㅡㅡ>> a x b x c = abc
④ 공통된 수나 문자는 괄호 앞에 쓴다.
⑤ 1 이 곱해진 것은 생략한다.
(2) 나눗셈식을 쓰는 방법
나눗셈 기호는 쓰지 않고 분수의 꼴로 나타낸다.
3. 문자를 사용한 식에서 자주 이용되는 공식
(1) (소금의 양) = (소금물의 양) x (소금물의 농도)
(소금의 양)
(소금물의 농도) = ㅡㅡㅡㅡㅡㅡ x 100
(소금물의 양)
(거리) (거리)
(2) (거리) = (시간) x (속력) , (속력) = ㅡㅡㅡ , (시간) = ㅡㅡㅡ
(시간) (속력)
(전체 자료의 총합)
(3) (평균) = ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
(전체 자료의 개수)
(4) 백의 자리의 수가 x, 십의 자리의 수가y, 일의 자리의 수가 z인 자연수 → 100x + 10y + z
a
(5) (정가 A 원을 a% 할인한 값) = A ( 1 - ㅡㅡㅡ )
100
4. 식의 값
(1) 대입 : 식에 들어 있는 문자를 어떤 수로 바꾸어 넣는 것
(2) 식의 값 : 식의 문자에 어떤 수를 대입하여 식을 계산한 값
5. 일차식의 계산 ( Ⅰ )
(1) 다항식에 관한 여러 가지 용어
① 항 : 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식
② 단항식 : 하나의 항으로 이루어진 식
③ 다항식 : 항의 합으로 이루어진 식
④ 상수항 : 수만으로 이루어진 항
⑤ 계수 : 문자를 포함한 항에서 문자에 곱해진 수
⑥ 차수 : 항에 포함되어 있는 어떤 문자가 곱해진 개수
⑦ 일차식 : 차수가 가장 큰 항의 차수가 1인 다항식
⑧ 동류항 : 문자와 차수가 같은 항
(2) 일차식의 덧셈과 뺄셈
괄호가 있는 식은 우선 괄호를 풀고 동류항끼리 간단히 한다.
(3) 분배법칙
(일차식) x (수) 또는 (일차식) ÷ (수) 를 전개할 때는 분배법칙을 이용하여 각 항에 수를 곱하거나 나눈다.
a b
ex) (ax + b) x c = acx + bc, (ax + b) ÷ c = ㅡx + ㅡ
c c
6. 일차식의 계산 ( Ⅱ )
(1) 식을 먼저 간단히 정리한다.
(2) 대입해야 하는 식을 식에 대입하여 괄호를 풀고 동류항끼리 정리한다.
7. 일차식의 응용
어떤 식을 구할 때
(ⅰ) 주어진 문자로 어떤 식을 표현하거나
(ⅱ) 어떤 식을 □로 표현한 후
주어진 조건대로 식을 세워서 어떤 식을 좌변에 남게 하여 구한다.
4. 일차방정식
1. 방정식과 항등식
(1) 등식 : 등호 ( = ) 를 사용하여 두 수 또는 두 식이 같음을 나타낸 식
(2) 항등식 : 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식 ex) 2x + 7 = 7 + 2x
(3) 방정식 : 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식 ex) x + 8 = 7
2. 등식의 성질
(1) 등식의 성질 ( a = b 일 때 )
① 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식을 성립한다. a + c = b + c
② 등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다. a - c = b - c
③ 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다. ac = bc
a b
④ 등식의 양변을 0 이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다. ㅡㅡㅡ = ㅡㅡㅡ ( c ≠ 0 )
c c
3. 일차방정식의 풀이 (Ⅰ)
(1) 방정식의 풀이
① 미지수 : 방정식에 들어 있는 문자 ( x , y 등 )
② 근(해) : 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값
③ 방정식을 푼다 : 방정식의 해를 구하는 것
(2) 일차방정식의 풀이
① ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) 꼴로 정리될 수 있는 식을 x 에 대한 일차방정식이라 한다.
② ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) 일 때, ax = -b 꼴로 정리하여 x의 값을 구한다.
③ 계수에 분수나 소수가 있으면 양변에 알맞은 수를 곱하여 계수를 정수로 고친다.
3. 일차방정식의 풀이 (Ⅱ)
(1) 일차방정식의 해가 a 일 때, a를 포함한 식의 값 구하기
→ 일차방정식의 해를 구하여서 a 로 놓은 후 a 대신 주어진 식에 대입한다.
(2) x 에 대한 일차방정식 ( 다른 문자 포함 ) 의 해가 k 일 때, x 이외의 문자의 값 구하기
→ k 를 x 에 대입한 후 문자의 값을 구한다.
3. 일차방정식의 풀이 (Ⅲ)
(1) 두 방정식의 해가 같다 : 두 방정식 중 하나의 방정식을 풀어 해를 구한 후, 그 해를 나머지 방정식에 대입하면 성립한다.
(2) 치환을 이용해서 풀기 : 공통인 부분을 다른 문자로 치환하여 방정식을 푼다.
ex) a + b - 2(a + b + 7 ) = 4 에서 a + b 의 값을 구할 때, a + b 를 X 로 치환해야 한다.
3. 일차방정식의 풀이 (Ⅳ)
(1) 연산 기호의 사용
→ 연산 기호의 정의대로 방정식을 세워서 일차방정식의 해를 구한다.
4. 해가 특별한 경우
(1) 해는 모든 수 ( 해는 무수히 많다. ) : 0ㆍx = 0 꼴 ( 항등식 )
(2) 해는 없다. : 0ㆍx = ( 0이 아닌 수 ) 꼴
(3) ax = b 에서
① 해가 모든 수일 조건 : a = 0 , b = 0
② 해가 없을 조건 : a = 0 , b ≠ 0
③ 해가 한 개일 조건 : a ≠ 0
5. 일차방정식의 활용
1. 일차방정식의 활용 문제 풀이 방법
(1) 문제의 뜻을 파악하고 구하는 수를 x 로 놓는다.
(2) 문제의 뜻에 따라 방정식을 세운다.
(3) 방정식을 푼다.
(4) 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 알아본다.
2. 시간, 거리, 속력에 관한 문제
시간, 거리, 속력 사이의 관계
( 거리 ) ( 거리 )
(1) ( 거리 ) = ( 속력 ) x ( 시간 ) (2) ( 속력 ) = ㅡㅡㅡㅡ (3) ( 시간 ) = ㅡㅡㅡㅡ
( 시간 ) ( 속력 )
3. 농도에 관한 문제
소금물의 농도(%) 사이의 관계
( 소금의 양 )
(1) 소금물의 농도 = ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ x 100
( 소금물의 양 )
( 소금물의 농도 )
(2) ( 소금의 양 ) = ( 소금물의 양 ) x ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
100
4. 기준을 1 로 두는 문제
일의 배분 문제 : 전체를 1 로 두었을 때 단위 시간 동안 한 일의 양을 구한 후 식을 푼다.
ex) A 가 12 일 걸려 일을 마치고, B 는 8 일 걸려 일을 마친다.
1 1
→ A 는 하루에 ㅡㅡㅡ , B 는 하루에 ㅡㅡㅡ 만큼의 일을 한다.
12 8
5. 원가, 정가에 관한 문제
원가와 이율, 정가 사이의 관계 : 원가 a 원에 이율 b% 를 붙여서 정가를 정하면
ab b
( 정가 ) = a + ㅡㅡㅡ = a( 1 + ㅡㅡㅡ )
100 100
6. 배분하는 문제
여러 개의 물건을 여러 사람에게 배분하는 문제
(1) 의자 x 개에 a 명씩 앉으면 b 명이 남는다. ⇒ 사람 수 : ax + b
(2) 의자 x 개에 a 명씩 앉으면 의자가 꼭 b 개 남는다. ⇒ 사람 수 : a( x - b )
7. 시계 문제
1 ˚
① 원리적 접근 : 시침은 1분에 ㅡㅡㅡ 씩, 분침은 1분에 6˚ 씩 움직인다.
2
② 공식 적용 : x 시 y 분일 때, 시침과 분침이 이루는 각의 크기는 ㅣ30x - 5.5yㅣ˚ 이다.
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
6. 함수
1. 정비례
(1) 정비례의 뜻
변하는 두 양 x 와 y 에서 한 쪽의 양 x 가 2배, 3배, 4배, ㆍㆍㆍ로 변함에 따라 다른 쪽의 양
y 도 2배, 3배, 4배, ㆍㆍㆍ가 되는 관계가 있을 때, y 는 x 에 정비례 한다고 한다.
(2) y 가 x 에 정비례하면 y = ax ( a ≠ 0 ) 인 관계식이 성립한다.
y
(3) y 가 x 에 정비례할 때, x 에 대한 y 의 비의 값 ㅡㅡㅡ 는 일정하다.
x
(4) 정비례의 관계식
y 가 x 에 정비례하면 y = ax ( a ≠ 0 ) 인 관계식이 성립한다.
2. 반비례
(1) 변하는 두 양 x 와 y 에서 한 쪽의 양 x 가 2배, 3배, 4배, ㆍㆍㆍ로 변함에 따라 다른 쪽의
1 1 1
양 y 가 ㅡㅡㅡ 배 , ㅡㅡㅡ 배 , ㅡㅡㅡ 배 , ㆍㆍㆍ 가 되는 관계가 있을 때, y는 x 에 반비례한다고 한다.
2 3 4
a
(2) y 가 x 에 반비례하면 y = ㅡㅡㅡ ( a ≠ 0 ) 인 관계식이 성립한다.
x
(3) y 가 x 에 반비례할 때, x 와 y 의 곱 xy의 값은 일정하다.
3. 함수의 정의
두 변수 x , y 에 대하여 x 의 값이 정해짐에 따라 y 의 값이 하나로 정해지는 관계가 있을 때, 이를 함수라 하며
y = f (x) ( f (x) : x 에 관한 식 )
로 표시한다.
(1) 정의역 : 변수 x 가 속한 집합으로 집합 X 이다.
(2) 공역 : 변수 y가 속한 집합으로 집합 Y 이다.
(3) 치역 x ∈ X 인 x 에 대응하는 y 의 값 전체 ( 단, y ∈ Y ) 치역은 공역의 부분집합이다.
4. 대응
(1) 뜻
집합 X 에서 집합 Y 로의 대응 : X 의 원소에 Y 의 원소를 짝지워 주는 것
(2) 종류
① 일대일 대응 : X 의 원소에 Y 의 원소가 하나도 빠짐없이 하나씩만 대응되는 것
② 다대일 대응 : X 의 원소 여러 개가 Y 의 원소 하나에 대응되는 것
③ 일대다 대응 : X 의 원소 하나가 Y 의 원소 여러 개에 대응되는 것
5. 함수값
(1) f : x → Y 에서 집합 X 의 원소 a 에 대응하는 집합 Y 의 원소를 b 라 할 때,
f (a) = b 로 나타내고 b 를 함수 f 에 의한 a 의 함수값이라고 한다.
6. 함수의 개수
함수 f : X → Y 에 대하여 n(X) = a , n(Y) = b 일 때,
(1) 함수의 총 개수 : bª (개)
b(b - 1) (b - 2) ㆍㆍㆍ(b - a + 1) (개)
(2) 일대일 대응인 함수의 개수 : ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
a개
(3) 상수항수의 개수 : b (개) 도움이 되셧나모르겟습니다 (천체
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