절댓값이란 - 절댓값은 음수를 양수로 바꿔주는 기호이다. 예를 들어 -3에 절댓값을 붙이면 음수가 양수가 된다. |-3|=3 다르게 말하면 절댓값은 그 값의 절대치, 그 값의 절대적인 크기, 즉 원점부터 떨어진 거리 라고도 할 수 있다.(거리는 항상 양수)
숫자에 절댓값이 있는 경우에는 일반적으로 "마이너스를 제거"한다는 생각이 많으나 사실 그런 생각보다는 "마이너스를 더 추가"해 준다는 생각이 옳다. 예를들어 |-3|=-(-3)=3 이라는 소리이다.
여기서 절댓값의 일반적인 풀이가 나온다. ☆ 만약 절댓값이 나온다면 절댓값을 절댓값기호가 없는 값으로 바꿔주어야 한다. 방법) 절댓값 기호의 안의 값이 확실한 양수라면 그냥 절댓값 기호를 지워준다. 절댓값 기호의 안의 값이 확실한 음수라면 절댓값을 지우고, 절댓값 안의 식에 (-)부호를 붙여준다. 절댓값 기호의 안의 값이 양수도 되고 음수도 된다면 음수가 되는 범위와 양수가 되는 범위로 식을 나눈 후 양수가 되는 범위에서는 절댓값 기호만 지워주고 음수가 되는 범위에서는 (-)를 붙여준 식을 적는다.
ex1) x<3일 때 |x-3|를 일반적인(절댓값 기호가 없는) 값으로 어떻게 바꿔야 할까? 마이너스를 제거한다는 생각만 가지고 있는 사람은 해결하기 힘들지만 마이너스를 추가한다는 것을 알고 있다면 처리하기 쉽다. 풀이) 절댓값 안에 들어있는 식 x-3이 양수일까 음수일까? x<3이므로 음수이다.(∵ x-3 = (x='3보다작은 숫자') - 3 = 음수) 그러므로 x<3일 때 |x-3|=-(x-3)
ex2) y=|x-1|-3을 바꿔보자 절댓값 안의 값 x-1은 x값에 따라 양수도 되고 음수도 된다. x가 1보다 크면 x-1은 양수가 되고 1보다 작으면 음수가 되므로 1을 기점으로 범위를 나누어야 한다. 1. (x>1일 때) x-1은 양수이므로 절댓값 기호만 지워주자 y=x-1-3 ∴y=x-4 2. (x<1일 때) x-1은 음수이므로 절댓값 기호를 지우고 안의 식에 (-)를 붙여주면 y=-(x-1)-3 ∴y=-x-2 (3. x가 1일때는 두 식을 모두 만족하므로 둘 중 아무데다 부등호에 등호를 붙여 ≤≥와 같은 기호로 나타내면 된다.) 1,2,3을 모두 합치면
이렇게 된다.
＃ 절댓값 그래프 대표 4가지 유형
절댓값 그래프를 그리려면 위에서 나온 것처럼 절댓값이 없는 식을 바꾼 후 그리면 되는데 복잡해 지는 경우가 많으므로 간단히 그래프를 그리는 방법을 소개하겠다.
4가지 유형
1. y=f(|x|) : x문자에 절댓값이 있는 함수 ex) y=|x|-1 2. |y|=f(x) : y문자에 절댓값이 있는 함수 ex) |y|=x-1 3. |y|=f(|x|): x, y 둘 다 절댓값이 있는 함수 ex) |y|=|x|-1 4. y=|f(x)| : 우변(x에 관한 식) 전체에 절댓값이 있는 함수 ex) y=|x-1|
y=f(|x|) 그리는 방법 : 먼저 y=f(x)의 그래프를 그린 다음 x가 양인쪽만 남긴 그래프에서 그 그래프의 y축 대칭의 그래프와 합한다.
|y|=f(x) 그리는 방법 : 먼저 y=f(x)의 그래프를 그린 다음 y가 양인쪽만 남긴 그래프에서 그 그래프의 x축 대칭의 그래프와 합한다.
|y|=f(|x|) 그리는 방법 : 먼저 y=f(x)의 그래프를 그린 다음 x,y 둘 다 양인쪽을 남긴 그래프에서 그 그래프의 x축 대칭과 y축대칭의 그래프와 합한다.
y=|f(x)|그리는 방법 먼저 y=f(x)를 그린 후 x축 아래의 그래프를 x축위로(대칭으로) 꺽어올린다.
그래프 그리는 법 정리
1,2,3 그래프 : ① 절댓값이 붙여진 문자가 양인쪽만 남긴다(ex: y=|x|에서 x에 문자가 있으므로 x가 양인쪽만 남기고 다 지운다) ② 남겨진 그래프에서 절댓값이 붙여지지 않는 문자의 축으로 대칭이동한 그래프와 남겨진 그래프와 합(합집합)하면 된다.
4 그래프 : 절댓값 기호가 없는 그래프를 먼저 그린 후 y가 음인쪽 의 그래프를 y가 양인 쪽으로 꺽어 올린다.
※ 합성 순서를 통해서 그래프를 완벽하게 그리자!! 만약 y=||x|-2|의 그래프를 그리려고 한다면 합성의 순서를 먼저 알아야 하는데 일단 y=x-2의 그래프를 x에 |x|를 넣어서 y=|x|-2로 만들고 다시 우번 전체에 절대값을 씌워서 ||x|-2|를 만들 수 있다. 즉, x-2 → |x|-2 → ||x|-2|의 순서로 그려주면 된다는 뜻이다.
그리는 법을 자세히 설명하면 x-2의 그래프를 먼저 그린 후 위에서 배운 y=f(|x|)를 이용해(x가 양인쪽, y축대칭) |x|-2의 그래프를 그리고 마지막에 배운 y=|f(x)|를 이용해(x축 아래를 x축 위로) ||x|-2|의 그래프를 완성한다.
그리고 만약 y에 절대값이 있다면 그 공식은 항상 맨 마지막에 써야 한다.
예를 들어 |y|=||x|-4|라는 그래프가 있다면 y=||x|-4|의 그래프를 y=x-4 → y=|x|-4 → y=||x|-4|의 순서로 그린 후 |y|=f(x)를 이용해(y가 양인쪽, x축대칭) |y|=||x|-4|를 해주면 된다. |
