I. 절대값의 뜻
원점에서 방향을 무시한 길이를 나타내는 기호입니다. 따라서 길이를 나타내므로 항상 ≥0의 값을 가집니다.
II. 절대값의 풀이
절대값이 주어진 경우 절대값안의 전체의 식이나 문자가 양수인 경우와 음수인 경우로 나누어해결합니다.
(이 때, 0은 양수인 경우나 음수인 경우 어느 곳에 포함시켜도 상관없습니다. 그렇지만 양수인 경우에 포함시키는 것이 일반적입니다.)
즉,
절대값안의 수나 식이 음이 아닌 수인 경우에는 원래의 수나 식으로 나오고, 음수인 경우에는 전체부호를
바꾸어주면 됩니다.
이 때, 주의할 점은 절대값기호를 이용한 방정식이나 부등식을 풀었을 때, 근 또는 근의 범위가 나누어 준
범위안에서의 값만을 의미합니다. 따라서 연산결과와 나누어 준 범위와의 공통범위를 구하셔야 합니다.
특히, |A|=|B| 인 경우는 A=±B의 결과를 알고 계세요
(∵A ≥0, B≥0이면 A=B , A ≥0, B<0이면 A=-B, A<0, B≥0이면 -A=B, A<0, B<0이면 -A=-B)
ex)
를 만족하는 x의 값을 구하시오.
sol)
ex)
를 만족하는 x의 값을 구하시오.
sol) 절대값의 범위를 나눌 때, 0의 값을 기준으로 양수와 음수로 나누었듯이 두 개이상의 절대값이
있는 경우에는 0이 되는 값을 기준으로 나누시면 편합니다. 이 때, 0이 되는값은 일반적으로 크다라고 읽는부분에 등호에 붙입니다.
ex)
를 만족하는 x의 값을 구하시오.
sol)
ex)
를 만족하는 x의 범위를 구하시오.
sol)
III. 절대값그래프 그리기 (그래프를 이용하여 최대, 최소 , 방정식(근의 개수, 위치), 부등식문제에 이용됩니다.)
(1) y= |f(x)|
(i) f(x) ≥0 인 경우 y=f(x)
(ii) f(x)<0 인 경우 y=-f(x) : y= f(x) 그래프를 x축 대칭
따라서 y= |f(x)|의 그래프는 f(x) ≥0인 그래프를 그린 후 f(x)<0인 부분은 x축 대칭하여 그리면 됩니다.
(2) y= f(|x|)
(i) x ≥0 인 경우 y=f(x)
(ii) x<0 인 경우 y=f(-x) : y=f(x) 그래프를 y축 대칭
따라서 y= f(|x|)의 그래프는 x≥0인 부분의 그래프를 그린 후 x<0인 부분은 x≥0인 부분의 그래프를
y축 대칭하여 그리면 됩니다.
(3) |y|=f(x)
(i) y≥0 인 경우 y=f(x)
(ii) y<0 인 경우 -y=f(x) : y=f(x) 그래프를 x축 대칭
따라서 |y|=f(x) 의 그래프는 y≥0인 부분의 그래프를 그린 후 y<0인 부분은 y≥0인 부분의 그래프를
x축 대칭하여 그리면 됩니다.
(4) |y|=f(|x|)
이 경우는 1사분면에 y=f(x) 그래프를 그린 후 x축, y축, 원점대칭하여 그리면 됩니다.
위와 같이 그래프를 그릴 때 혼동되는 경우에는 절대값을 나누는 기준을 먼저 생각해보세요.
그래프가 없어서 죄송합니다. ㅠㅠ
I. 가우스기호
[x]는 x를 넘지않는 최대정수로 정의하므로
(i) 가우스기호가 있는 값의 결과는 항상 정수입니다.
(ii) x보다 작거나 같은 최대정수입니다.
예를 들면 [2.6]=2, [3]=3, [-1.5]=-2와 같이 가우스기호안의 수보다 작거나 같은 정수 중에서 최대정수값을 나타냅니다. (음수인 경우에 -1.5보다 작은 정수값은 -2, -3, -4,....이므로 [-1.5]=-2이겠지요)
참고로 수직선상에 점으로 나타내어 보시면 편합니다.
II. 가우스기호가 있는 방정식, 부등식해결하기
가우스 문제는 가우스값을 정수로 놓고 풉니다. 이 때 다음과 같이 두 가지 성질이 이용됩니다.
(1) [x]=n (n은 정수) 이면 n≤x<n+1입니다.
(2) [x+n]=[x]+n (n은 정수) (이 성질은 반드시 알아야되는것은 아니지만 알고 계시면 편합니다.)
ex) 다음 방정식을 풀어보세요
(1)
(2)
sol)(1)
(2)
ex) 다음 방정식을 풀어보세요
(1) 3[x+1]=[x+7] (2) 2x+2[x-1]=3
sol) (1)
[x]=n 이라 하면 (단, n은 정수)
3[x+1]= [x+7] → 3([x]+1)=[x]+7 → 3(n+1)=n+7
따라서 n=2이므로 [x]=2
∴ 2≤x<3
(2)
ex) 다음 부등식을 풀어보세요.
sol)
위의 문제들은 다른 유형들의 문제들로 푸는 방법들이 다르더군요. 그렇지만 모든 문제가 같은 방법으로 풀리죠...^^ 단순히 정수로만 놓았을 뿐인데...
또한 가우스기호를 이용하여 식을 다양한 방법으로 놓을 수 있습니다.
예를 들어 x의 정수부분이 n이면
① n≤x<n+1 ② x=n+ a (단, 0≤a<1)
따라서 [x]=n이므로 ①식에서 [x]≤x<[x]+1 ②식에서 [x]=n-a (단, 0≤a<1)와 같이 놓고 다양한 방법으로 문제를 해결할 수도 있습니다.
III. 가우스기호의 의미
(i) [x] : 실수 x의 정수부분
(ii) x-[x]: 실수 x의 음이 아닌 소수부분
ex) x가 정수이면 즉, x의 소수부분이 0이면 x-[x]=0입니다. 이를 변형하면 x=[x]와 같이 놓을 수 있겠죠
(iii)
: 1부터 b까지 a의 배수의 개수 또는 b를 a로 나눈 몫
(iv)
: b를 a로 나눈 나머지
b를 a로 나눈 몫을 Q라 하고 나머지를 R이라 하면 b=aQ+R 입니다. 따라서 R=b-aQ입니다.
이 때, b를 a로 나눈 몫은
이므로 Q에
를 대입하면 R=
와 같습니다.
IV. 가우스 그래프그리기 (그래프를 이용하여 최대, 최소 , 방정식(근의 개수, 위치), 부등식문제에 이용됩니다.)
(i) y=[x]
앞에서 보았듯이 가우스기호는 정수값으로 놓고 푸는게 편합니다. 물론 그래프에서도 마찬가지입니다.
즉,
.... , [x]=-2 , [x]=-1, [x]=0, [x]=1, [x]=2, ....과 같이 정수값을 먼저 놓으면
...
[x]= -2 즉, -2≤x<-1 일 때, y=-2
[x]=-1 즉, -1≤x<0 일 때, y=-1
[x]= 0 즉, 0≤x<1 일 때 y=0
[x]= 1 즉, 1≤x<2 일 때 y=1
[x]= 2 즉, 2≤x<3 일 때 y=2
...
(ii) y=x-[x]
...
[x]= -2 즉, -2≤x<-1 일 때, y=x-2
[x]=-1 즉, -1≤x<0 일 때, y=x-1
[x]= 0 즉, 0≤x<1 일 때 y=x
[x]= 1 즉, 1≤x<2 일 때 y=x+1
[x]= 2 즉, 2≤x<3 일 때 y=x+2
...
특히, y=[f(x)]와 같이 전체식에 가우스기호가 씌워진 경우에는 먼저 y=f(x)의 그래프를 그린 후
..., y=-2, y=-1, y=0, y=1, y=2, ... 에 의해 잘려진 부분을 직선위에 수직으로 내려 그리면 편합니다.
예를 들면 y= [x] 그래프는 y=x 그래프를 그린 후 y=정수 인 직선을 그려 y=x가 y=정수에 의해 잘려진 부분을 수직으로 내려 그려보시면 다음과 같습니다.
