음함수의 미분법

평면 곡선의 접선
다큐멘터리를 촬영하면서 숲 속의 새소리 등을 녹음하기 위해 사용하는 집음기, 런던에 있는 세인트 폴 대성당의 속삭이는 회랑, 우주 공간에서 오는 전파를 수신하는 전파 망원경 등은 평면 곡선인 포물선, 타원, 쌍곡선과 이 곡선의 접선에 관련된 성질을 활용한 것이다.

생활 속 음함수의 미분법

오른쪽 그림은 장축의 길이가 4이고 단축의 길이가 2인 타원이다. 이 타원이 함수의 그래프인지 말하여 보자.

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-2 〈 x 〈 2 일 때, y축에 평행한 직선을 그으면 타원과 두 점에서 만나므로 하나의 x의 값에 대하여 y의 값이 2개 대응된다. 따라서 타원은 함수의 그래프가 아니다.

교과서 내용 정리

〈음함수〉

방정식 y² - x = 0을 y ≥ 0 일 때와 y 〈 0 일 때로 나누어서 y에 대하여 풀면

이다. 이때 ①과 ②는 모두 x의 함수이다.
일반적으로 방정식 f(x, y) = 0이 주어졌을 때, x와 y의 값의 범위를 적당히 정하면 x의 함수 y를 얻을 수 있다.
이와 같은 의미에서 x의 함수 y가 방정식 f(x, y) = 0의 꼴로 주어졌을 때, 함수 y는 x의 음함수 꼴로 표현되었다고 한다.

〈음함수의 미분법〉

음함수 x² + 2y² = 2에서 를 구하여 보자.
y를 x의 함수로 보고, 양변을 x에 대하여 미분하면
이고, 합성함수의 미분법에 의하여
이므로 에서
이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.

음함수의 미분법
x의 함수 y가 음함수 f(x, y) = 0의 꼴로 주어질 때에는 y를 x의 함수로 보고 각 항을 x에 대하여 미분하여 를 구한다.

문제를 풀기 위한 해법

f(x, y) = 0을 미분할 때, y를 x에 대하여 미분하자!

x의 함수 y가 음함수 f(x, y) = 0 꼴로 주어질 때에는 각 항의 y를 x의 함수로 보고 양변을 x에 대해 미분하여 를 구한다.
주어진 식을 y = f(x) 꼴로 고치기 어려울 때, 음함수의 미분법을 이용하여 y를 x의 함수로 보고 양변을 x에 대하여 미분한다.

관련문제

1.다음 음함수에서 를 구하여라.

x² + 4y² = 4

정답 및 해설

정답

x² + 4y² = 4의 양변을 x에 대하여 미분하면

2.다음 음함수에서 를 구하여라.

2x² + 3y² = 1

정답 및 해설

정답

2x² + 3y² = 1의 양변을 x에 대하여 미분하면