제곱근(무리수)의 기원

무리수 이야기~~

 

피타고라스 학파인 메타폰툼의 히파수스가 기원전 5세기경에 무리수의 존재를 증명하였습니다.
그는 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이가 루트2 라는 것을 증명하였습니다.

현대의 무리수는 극한 ·연속 등 해석학의 여러 개념이 발달함에 따라 점차 밝혀지게 되었으며, 19세기 말, G.칸토어, J.W.R.데데킨트, K.바이어슈트라스 등에 의하여 그 기초가 확고하게 되었습니다. 다. 또, 이들은 유리수와 무리수를 실수로서, 동일한 정의 밑에서 다루었으며, 칸토어는 유리수열(有理數列)을, 데데킨트는 유리수의 절단(cut)을 써서 실수를 정의하면서 실수 중의 무리수의 특색을 명확히 하였습니다.




제곱근의 기원이라.... 기원이라기 보다는 제곱근이 왜 발생했는지 대충 설명하겠습니다..

모든 수는 필요성에 의해서 나타났습니다.

자연물을 셀려고 보니 자연수가 필요했고...

돈 계산하다보니 음수가 필요했고....

10진법처럼 편리한 진법계산을 하기 위해 0  이 상당히 늦게 나타났고....

나누는 몫에 항상 관심이 있으니 유리수가 나오고...

그럼 제곱근, 즉 무리수는 왜 나왔을까요..
무리수의 기원은 건축에서 비롯되었다고 말합니다.
건축을 하다보면 벽의짜임새나 문의 크기와 벽의 알맞은 틈새 등등 여러가지 수학적 대입을 해야만 견고하고 정확한 건물이 되고 집이 될수 있는 것입니다.
옛날 고대 이집트나 이스라엘,그리스 같은 데에서는 성전,피라미드 같은것을 건축할시에 무리수를 사용했다고 전해지고 있습니다. 아마도 이 당시에 무리수가 생겨났을것이라고 수학자와 역사학자들은 추측하고있습니다.

가장 간단한 대답인 피타고라스의 정리가 삼각형에서 증명을 하는 것으로부터

알 수 있습니다.

그 전에는 루트는 없었구요(있었더라도 표현을 못함)..

단지 루트에 해당하는 근사값만을 구해서 사용하였습니다.

직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변의 길이가 1 이면  빗변의 제곱은 2가 나옵니다.

그 당시 피타고라스 학파는 정수(좀 더 엄밀히 자연수)를 숭배하였으며 피타고라스는

만물은 모두 유리수로 표현할 수 있다라고 주장을 하고 다녔지요..

피타고라스의 한 제자 히파수스의 죽음에 관련된 일화로

루트를 많이 소개합니다.





피타고라스 학파는 수(數)를 만물의 근본으로 파악했다. 이들은 자연계의 물질을 삼각형이나 사각형 같은 기하학적 도형으로 표현했을 뿐 아니라 각 수에 윤리적 의미를 부여했다. 예를 들어 홀수는 선하고 짝수는 악하다고 규정했으며, 6은 결혼의 수로서 여성수 2에 남성수 3을 곱한 값이라고 생각했다.



문제는 수가 오로지 1,2,3과 같은 자연수만 존재한다고 믿었다는 점이다. 따라서 만일 √2(=1.414 …)와 같은 무리수가 발견된다면 학파를 지탱하는 신념의 기반이 흔들리는 셈이었다. 그런데 바로 그런 일이 발생했다.



피타고라스는 직각삼각형에서 빗변을 제외한 두 변의 비율이 3 : 4일 경우 빗변의 값은 5라는 사실을 발견했다(사실 자신의 업적인지 제자들의 업적인지, 아니면 선대의 지식인지 불명확하다). 현 대의 공식으로 표현하면
3(2) + 4(2) = 5(2)이다. 피타고라스 학파는 이 대발견을 기념해 황소 1마리(1백 마리라고도 함)를 신의 제단에 바쳤다고 한다.



그러나 기쁨은 잠깐이었다. 만일 빗변을 제외한 두 변의 비율이 1 : 1이라면 빗변의 길이는 √2에 해당한다. 자연수 외에는 존재하지 않는다는 신념에 가득찬 학파로서는 커다란 충격에 사로잡힐 수밖에 없었다.



피타고라스 추종자들은 일단 이 사실을 비밀에 부치고 어떻게든 √2를 자연수로 표현해보려 애썼다. 이런 와중에 추종자의 한 사람인 히파수스가 비밀을 외부인에게 누설시켰다. 그러자 분개한 동료들이 히파수스를 바닷물에 던져 사망시켰다고 한다. 신념 때문에 새로운 과학 지식을 유연하게 받아들이지 못하고 무모한 행태를 벌인 일화다.







그리고 무리수를 표현하기 위해 루트를 쓰죠.

루트가 등장하게 된 배경은 제곱근을 필요로한 피라미드의 건축조건상 무리수 없이는 계산하기가 매우 복잡했기 때문이었습니다. 가로 1m 세로 2m 짜리의 벽돌을 피라미드에 알맞게 세우기 위해서는 제곱근을 구해 그에맞는 짜임새를 맞추어야 합니다. 하지만 2의제곱근 없었죠. 제곱을해서 2가나오는 수는 과연 무엇일까? 분명 1~2 사이일것이지만 매우 오묘하고 절대 정답이 없었습니다. "파이"나 마찬가지였죠.

그래서 고민을 해낸것입니다.수직선상에 2의 제곱근을

어떻게 표현할것인가....즉 무리수의 표현을 위해 탄생한것이죠.

중학교수학책에보면 수직선상에 삼각형그려서 루트2를 표시하는 방법이 나오죠?

그 원리로 탄생한게 루트입니다.

요약하자면 루트란건 무리수의 표현을 위해 만들어진 기호이지요^^

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