로그의 정의와 성질

로그, Ⅰ-2 로그와 로그함수

목차

1. 1. 교과서 속 주개념
2. 1) 로그의 정의
3. 2) 로그의 성질
4. 3) 로그의 밑 변환 공식
5. [예제]
6. 2. 관련 지식
7. 로그의 의미
8. 3. 기출 논제

1. 교과서 속 주개념

1) 로그의 정의

a ＞ 0, a ≠ 1, b > 0일 때 a^x = b ⇔ x = log_a b 이 때, a를 밑, b를 진수라고 한다.

2) 로그의 성질

a ≠ 1, a ＞ 0, x ＞ 0, y ＞ 0이고 n이 실수일 때

(1) log_a 1 =0, log_a a = 1
(2) log_a xy = log_a x + log_a y
(3)
(4) log_a xⁿ = nlog_ax

3) 로그의 밑 변환 공식

a > 0, b > 0, c > 0일 때

(1) (단, a ≠ 1, c ≠ 1)
(2) (단, a ≠ 1, b ≠ 1)
(3) a^log_bc = c^log_ba(단, b ≠ 1)

[예제]

1. 다음을 계산하여라.
(1) log₂√2
(2) log₂24 - log₂3

2. log_axⁿ = nlog_ax
(단, a ≠ 1, a > 0, x > 0, n은 실수)를 유도하는 과정에서 틀린 점을 지적하시오.
log_axⁿ = log_a(x × x × ... × x)
= log_ax + log_ax + ... + log_ax = nlog_ax

정답 및 해설

1. (1)
(2) 3

2. n이 실수이므로 xⁿ = x × x × ... × x와 같이 x를 n번 곱한다고 표현할 수 없다. n번이라는 표현은 자연수일 때에만 가능하다.

실용수학

로그의 적용
인혜 : "아름아 32를 제곱하면 무엇일까?"
아름 : "음, 32 × 32 = ..."
인혜 : "바보같이 직접 계산하는 거야? 32 × 32 = 2⁵ × 2⁵ = 2¹⁰ = 1024잖아."
아름 : "너 똑똑하구나. 어떻게 그런 생각을 했어?"
인혜 : "오늘 수업시간에 로그를 배웠잖아."
아름 : "32 × 32 = 2⁵ × 2⁵ = 2¹⁰ = 1024 의 계산에 로그가 있다고?"

2. 관련 지식

로그의 의미

로그는 곱셈과 나눗셈, 거듭제곱의 계산을 간편하게 해주는 계산법이다.

아래의 표를 보자

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	2	4	8	16	32	64	128	256	512

x는 1부터 시작해서 공차가 1인 등차수열이고 y는 2부터 시작해서 공비가 2인 등비수열이다. x와 y사이에는 다음과 같은 관계가 있다. 2^x = y, log₂y = x 위 표를 바탕으로 곱셈을 계산해보자. x에는 덧셈과 뺄셈이라는 연산이 정의되고 y에는 곱셈과 나눗셈이 정의된다고 가정하자. 이제 8 × 32를 계산하고자 한다. y값 8에 대응하는 x는 3이고 y값 32에 대응하는 x는 5이다. 그러면 8 × 32대신 그에 해당하는 x값끼리 더한다. 즉, y : 8 × 32 ⇒ x : 3 + 5 = 8 ⇒ x = 8에 대응하는 y = 256 따라서 8 × 32 = 256이다.

이렇게 등차수열과 등비수열의 대응 표만 있으면 등비수열에서의 곱셈이 덧셈으로 쉽게 바뀐다. 계산기가 없었던 시절에 천문학적 숫자를 더해야 하는 학자들에게 로그는 무척 중요한 계산법이었다. 위의 표도 일종의 로그표이며 밑은 2로 하였다. 이를 보다 효율적으로 적용하기 위해 밑을 10으로 정하고 그에 따른 로그표를 만든 사람이 영국의 수학자 브리그스(Briggs)이다. 오늘날의 상용로그의 개념을 정립한 수학자이다. 또한 로그의 특성을 가장 잘 나타내는 성질은 log_a xy = log_a x + log_a y이다. 로그는 곱해져 있는 수를 덧셈으로 분리시키기 때문에 가치 있는 계산법이다. 임의의 양수 x, y에 대해 f(xy) = f(x) + f(y)를 만족하는 함수 f(x)는 로그함수뿐이다.

3. 기출 논제

• 2008 경북대 예시 논술
로그의 계산 원리에서 출제

[네이버 지식백과] 로그의 정의와 성질 (통합논술 개념어 사전, 2007. 12. 15., 청서출판)