지수법칙의 확장

목차

1. 1. 교과서 속 주개념
2. 1) 지수를 자연수에서 정수로 확장
3. 2) 지수를 정수에서 유리수로 확장
4. 3) 지수를 유리수에서 실수로 확장
5. 4) 지수법칙
6. 5) 지수법칙 확장의 의미
7. [예제]

1. 교과서 속 주개념

1) 지수를 자연수에서 정수로 확장

a > 0, 자연수 n에 대해서 지수가 정수일 때 다음과 같이 정의한다.

(1) a⁰ = 1
(2)

이렇게 정의하면 자연수에서 성립했던 지수법칙들을 만족하며 특히 a^m ÷ aⁿ = a^m-n으로 간단하게 표현할 수 있다.

2) 지수를 정수에서 유리수로 확장

a > 0, 정수 n에 대해서 지수가 유리수일 때 다음과 같이 정의한다.

(1)
(2)

지수법칙 (a^m)ⁿ = a^mn에 비추어볼 때, 가 되기 때문에 모두 n제곱해서 a가 되는 수를 나타낸다. 따라서 로 정의하는 것이 자연스럽다.

3) 지수를 유리수에서 실수로 확장

프랑스 수학자 코시(Cauchy)는 실수는 유리수열의 합으로 정의하였다. 예를 들어 무리수 π는 다음과 같이 유리수열의 합으로 나타낼 수 있다.

π = 3.1415... = 3 + 0.1 + 0.04 + 0.001 + 0.0005 + ...

결국 코시에 의하면 실수의 본질은 유리수이므로 실수는 유리수에서 만족했던 성질들을 모두 만족한다. 따라서 앞에서 정의한 모든 법칙들은 실수에서도 성립한다.

4) 지수법칙

이제 지수는 실수 범위에서도 정의되었다. a > 0, b > 0, m, n은 실수라고 하면

(1) a^m × aⁿ = a^m+n
(2)
(3) (a^m)ⁿ = a^mn
(4) (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

5) 지수법칙 확장의 의미

(1) 지수가 실수일 때에는 더 이상 거듭제곱의 원래 뜻인 'a를 n번 곱한다.'는 뜻은 의미가 없다. 규칙만 존재한다.

(2) 실수 x에 대해 a^x가 정의되므로 y = a^x을 수직선에 곡선으로 표현할 수 있으며 극한이나 미분, 적분을 적용할 수 있다. 실수에서 정의되지 않은 함수는 극한, 미분, 적분 등을 적용할 수 없다.

[예제]

1. 다음을 간단히 하여라.(a > 0)
(1) a^√3 ÷ a^2√3
(2) a^π × a^√2

2. 친구가 3^-2에 대해 3을 -2번 곱하기 위해 안간힘을 쓰고 있다. 이 동생에게 3을 -2번 곱한다는 뜻을 어떻게 설명할 것인가?

정답 및 해설

1. (1) a^-√3
(2) a^π+√2

2. 지수법칙을 가르쳐준다. aⁿ에서 n이 자연수 범위를 넘어서면 a를 n번 곱한다는 뜻은 사라지며 aⁿ은 규칙으로만 존재한다.

실용수학

은 어떻게 이해할 것인가 : aⁿ에서 밑은 a > 0라고 제한한다. 그 이유는 a < 0일때에는 aⁿ이 실수가 되지 않기 때문이다. 고등학교 과정에서는 지수의 법칙을 실수까지 확장하고 실수에서 실수로 대응되는 지수함수를 배운 다음 지수함수의 접선의 기울기 나아가서는 지수함수로 둘러싸인 면적을 구하는 적분을 다룬다. a < 0인 경우에는 공역이 복소수 범위까지 확대되므로 일단은 a > 0로 제한한다. a < 0인 경우는 대학 과정에서 다룬다.

[네이버 지식백과] 지수법칙의 확장 (통합논술 개념어 사전, 2007. 12. 15., 청서출판)