수열의 귀납적 정의 · 점화식

수열의 귀납적 정의 · 점화식

1. 귀납적 정의: 첫째항 a₁과 ‘a_k와 a_{k + 1}사이의 관계’를 알고 있을 때 첫째항 a₁과 ‘a_{k + 1}과의 관계’에서 차례로 모든 항이 정해진다. a₁ → a₂ → a₃ ······ → a_n → a_{n + 1} → ···

2. 점화식의 기본형
⑴ a_{n + 1} = a_n + f(n)꼴：n = 1, 2, 3, ···대입하고 변변 더하여 a_n과 a₁을 써서 일반항 a_n을 구한다.

⑵ a_{n + 1} = a_n · f(n)꼴：n = 1, 2, 3, ···대입하고 변변 곱하여 a_n과 a₁을 써서 일반항 a_n을 정한다.

⑶ a_{n + 1}=pa_n+q(p, q는 상수)：a_{n + 1}+α=p(a_n+α)꼴로 고쳐서 일반항 a_n+1+α = (a₁ + α) · p^{n - 1} 등비수열로 고쳐 푼다.

⑷ a_{n + 2}=pa_{n + 1} + qa_n꼴：a_{n + 2}-pa_{n + 1} - qa_n=0으로 변형하여 세 항의 계수의 합이 0이 될때 계차꼴로 고쳐서 푼다.

예문