위상수학

위상수학

다른 표기 언어 topology , 位相數學

요약 집합이 변형되어도 손상되지 않고 유지되는 성질을 주로 다룬다.

 진흙덩어리는 위상적으로는 변함이 없이 공이나 긴 막대 등으로 변형될 수 있는 물질적인 점들의 집합으로 간주된다. 위상수학은 기호논리학과 관계가 있으며, 기계장치, 지도, 배전망, 복잡한 기능을 계획·제어하는 조직 설계에 영향을 미친다. 위상수학은 기하학의 한 분야로 분류되다가 칸토르의 정수론과 집합론 연구의 영향으로 그 범위가 확장되었다. 이 분야의 잘 알려진 예는 1635년경 데카르트가 처음 언급했고 1752년 오일러가 다시 발견한 공식이다. 두 사람은 구멍이 없는 다면체에서 꼭지점의 수와 면의 수를 더해 변의 수를 빼면 항상 2가 됨을 발견했다. 이 수들은 위상적인 변형에 의해 영향받지 않는 대수량으로 물체의 위상적 성질에만 의존한다.

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집합이 변형될 때에도 손상되지 않고 유지되는 성질을 주로 다룬다. 예를 들어 진흙덩어리는 위상적으로는 변함이 없이 공이나 가늘고 긴 막대 등으로 변형될 수 있는 물질적인 점들의 집합으로 간주된다. 위상수학은 수학의 거의 모든 분야는 물론 예전에는 수학적 방법으로 처리할 수 없다고 여겼던 분야에까지 영향을 미치고 있다.

예를 들어 위상수학은 여러 면에서 기호논리학과 밀접한 관계를 가지며, 기계장치, 지도, 배전망, 복잡한 기능을 계획·제어하는 조직 설계에 영향을 미친다.

처음에는 주로 18세기 레온하르트 오일러, 19세기 베른하르트 리만과 앙리 푸앵카레의 기하학 분야 연구에서 발달되었기 때문에 기하학의 한 분야로 분류되었으나 게오르크 칸토르의 정수론과 집합론 연구로부터 많은 영향을 받아 그 범위가 확장되기 시작했다. 네덜란드의 수학자 L. E. J. 브로우웨르가 위상수학의 영역을 다시 정의하고 20세기초에 일반성을 확립한 이후 수학적 연구에서 옛 기하학의 개념이 아닌 명백한 위상수학의 개념이 이용되기 시작했다. 푸엥카레의 저술은 대수적 방법 및 개념을 위상적인 문제 해결에 적용하는 대수적 위상기하학이라는 분야를 처음으로 체계있게 다룬 것으로 여겨진다.

이 분야의 잘 알려진 예는 1635년경 르네 데카르트가 처음 언급했고 1752년 오일러가 다시 발견한 공식이다. 이 두 사람은 구멍이 없는 다면체에서 꼭지점의 수와 면의 수를 더해 변의 수를 빼면 항상 2가 됨을 알아냈다. 1개의 구멍이 있는 다면체의 경우에는 0이 된다. 이 수들은 위상적인 변형에 의해 영향받지 않는 대수량으로 물체의 위상적 성질에만 의존한다. 쾨니히스베르크 다리 문제나 4색지도 정리(定理) 같은 그래프 이론의 많은 문제들이 대수적 위상기하학의 주제이다.