자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수 뜻

 

자연수 [自然數, natural number]  양(陽)의 정수(整數)에 해당하며, 덧셈과 곱셈은 자유롭게 할 수 있으나, 뺄셈과 나눗셈은 자유롭지 못하다. 즉 임의의 두 자연수를 취하여 뺄셈이나 나눗셈을 하여도 그 결과가 반드시 자연수가 된다고는 할 수 없다. 예를 들면, 5－5나 3－5의 결과는 자연수가 아니다. 자연수는 가장 소박한 것이면서도 그것이 이론적으로 확립된 것은 금세기에 들어와서인데, 이탈리아의 수학자이자 논리학자인 G.페아노(1858~1932)가 '페아노의 공리'라 불리는 다음과 같은 공리계를 발표한 데서 시작되었다. 이 공리계에는 모순이 없다는 것이 분명해진 것은 그가 이 세상을 떠난 후였다. 이 공리계는 ① 1은 자연수이다. ② 임의의 자연수 x에 대하여, 그 다음의 자 연수 x'가 오직 하나 존재한다. ③ x'가 1이 되는 그러한 자연수는 존재하지 않는다. ④ x'와 y'가 동일한 자연수이면, x와 y도 동일한 자연수이다. ⑤ M이 다음 두 조건을 만족하는 자연수의 집합이라면, M은 모든 자연수의 집합이 다. 이것을 귀납공리(歸納公理)라 한다. ㉠ 1은 M에 속한다. ㉡ x가 M에 속한다면 x'도 M에 속한다. 이 공리계를 바탕으로 하여 자연수의 모든 성질이 증명된다. 그러나 근래에는 0을 최소인 순서수(順序數)로 보고 이를 유한순서수(0을 포함하는 자연수)에 속하는 것으로 한다. 즉 공집합을 순서수로 보고 이를 0으로 표시할 때 1＝{0}, 2＝{0, 1}, 3＝{0, 1, 2}… 은 순서수이고, 이 유한집합인 순서수, 즉 유한순서수는 자연수(0을 포함해서)와 동일하다. 자연수 전체의 집합을 ω라고 하면 ω＝{0, 1, 2,…} 도 순서수가 되고, 이 ω는 무한집합인 순서수로 초한순서수(超限順序數)라 한다.    정수 [整數, integer]  유리정수(有理整數)라고도 한다. 두 정수의 합 ·차 ·곱은 정수가 되지만, 한 정수 a를 다른 정수 b(b≠0)로 나눈 몫 a/b는 반드시 정수가 된다고는 할 수 없으며, 일반적으로 분수(유리수)가 된다. a/b가 정수이면, a는 b로 나누어떨어진다고 한다. 이때 a를 b의 배수, b를 a의 약수라고 한다. 정수를 계수로 하는 다음과 같은 대수방정식 xn＋a1xn-1＋a2xn-2＋…＋an＝0 (단, a1,a2,…,an은 정수, n은 자연수, xn의 계수는 1)의 근인 복소수(複素數)를 대수적 정수(代數的整數)라고 한다. 예를 들면, －1＋√2i는 방정식 x2＋2x－3=0의 근이므로 대수적 정수이지만, 1/√2은 대수적 정수가 아니다. 또 유리정수 a는 x－a=0의 근이므로 대수적 정수이다. 그리고 정수는 ‘덧셈에서는 a＋x=0이 되는 a의 역원 －a가 존재한다’는 조건에 따라 뺄셈을 자유로이 할 수 있으며, 또 정수 중에서 양의 원소(0보다 큰 원소) 전체는 자연수의 공리를 만족하므로 자연수와 일치함을 알 수 있다. 따라서 정수란, 자연수 전체에 그 역원과 0을 합한 것이라고 할 수 있다. 한편, 순서수(順序數)의 정의에 따라 유한순서수는 자연수(0을 포함해서)와 동일시되며, 따라서 자연수 전체의 집합 ω={0,1,2,…}도 순서수이다. 이때 ω는 초한순서수(超限順序數)가 된다. 따라서 정수는 자연수 전체에 그 역원을 합한 것이라고 할 수가 있다.    유리수 [有理數, rational number]  실수(實數) 중에서 정수(整數)와 분수(分數)를 합쳐서 유리수라고 한다. 즉, 두 정수 a와 b(b≠0)를 비(比) a/b(분수)의 꼴로 나타낸 수를 말하며, 특히 b＝1일 경우는 정수가 된다. 또 유리수는 사칙연산(0으로 나누는 것은 제외)에 관하여 닫혀 있으며, 유리수체는 순서체를 이룬다. 이를테면, 정사각형의 대각선의 길이와 한 변의 길이의 비라든지, 원주의 길이와 지름의 비 등은 유리수가 아니다. 이와 같은 양도 포함시킴으로써 유리수체보다 확장된 실수체가 구성되어 있으므로 유리수체는 실수체의 부분체라 할 수 있다. 모든 실수는 유한 또는 무한인 소수(小數)로 나타낼 수 있다. 이때, 유한소수 또는 순환소수로 나타내어지는 것은 유리수이고, 그렇지 않은 것은 무리수이다.    무리수 [無理數, irrational number] 정수와 분수를 하나로 정의한 유리수체에서는 그 안에서 이루어진 사칙연산의 결과는 모두 유리수이다(단, 0으로 나누는 것은 제외). 이와 같은 사실을, 유리수체는 사칙연산에 대하여 닫혀 있다고 한다. 유리수를 계수로 하는 이차방정식은 유리수의 범위에서 반드시 해를 갖는다고 할 수 없다. 이를테면 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 구하는 이차방정식의 근 ±√2는 정수도아니며, 분수도 아니다. 일반적으로 부진근수(不盡根數:유리수가 아닌 근수) n√a라든지, 원주율 π또는 자연로그의 밑으로 쓰이는 e와 같은 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다. 무리수는 극한 ·연속 등 해석학의 여러 개념이 발달함에 따라 점차 밝혀지게 되었으며, 19세기 말, G.칸토어, J.W.R.데데킨트, K.바이어슈트라스 등에 의하여 그 기초가 확고하게 되었다. 또, 이들은 유리수와 무리수를 실수로서, 동일한 정의 밑에서 다루었으며, 칸토어는 유리수열(有理數列)을, 데데킨트는 유리수의 절단(cut)을 써서 실수를 정의하면서 실수 중의 무리수의 특색을 명확히 하였다.    실수 [實數, real number]  정수의 몫으로 정의되는 유리수의 범위에서는 대소의 순서를 정할 수 있으며, 사칙연산을 자유로이 할 수 있다. 그러나 이 범위에서는 역시 불완전한 점이 많다. 이를테면, 단위의 길이를 가지는 정사각형의 대각선의 길이(x＝2의 근)는 유리수로 나타낼 수 없다. 이와 같은 결함을 보완하기 위하여 유리수에 무리수를 첨가하여 수의 범위를 실수까지 확장한 것이다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 명확하게 규정짓게 된 것은 금세기에 접어들면서부터이며 K.바이어슈트라스, G.칸토어, J.W.R.데데킨트의 공적이 크다. 특히, 데데킨트의 절단(切斷)의 이론은 유명하다. 실수의 중요한 성질로서는 다음 4가지를 들 수 있다. ① 자연수나 유리수와 마찬가지로, 실수도 무수히 많이 존재하는데, 무리수와 실수는 자연수나 유리수보다도 농도가 크다. 실수의 농도를 연속(체)의 농도라고 한다. ② 실수는 직선 위의 모든 점과 일대일로 대응시킬 수 있다. 이것을 실수의 연속성이라고 한다. ③ 실수의 범위에서는 사칙연산을 자유로이 할 수 있다. ④ 두 실수 사이에는 반드시 다른 실수가 존재한다. 이것을 실수의 조밀성이라고 한다. 자연수나 정수에는 조밀성이 없고, 유리수에는 연속성이 없다.