함수의 개념1

수학에서는 어떤 작용과 그에 해당하는 결과 사이의 관계를 "함수"로 나타낸다.

       실생활에 나타난 함수와 관련된 경우:자동판매기 / 공중전화 / 컴퓨터자판...등

 

1.집합과 대응

  집합: 어떤 것들을 모아 놓은 것. (성과 이름을 모아 놓은 것들이 집합)

  원소: 집합 안에 있는 요소들. (각각의 성과 이름들이 집합에 속한 원소이다.)

  각각의 성과 이름을 연결할 때, 집합에 속한 원소끼리 서로 짝을 맺어 주는 것을 "대응"이라 한다.

                           성                        이름

                           김   ------------------------>     일성

                           이   ------------------------>     순신

                           박...등 --------------------->      정희           (원소의 대응)

 

2.일대일 대응

  집합X 와 집합Y가 있고 집합X에서 집합Y로 1개씩 대응될 때, 이것을 X와 Y사이의 "일대일 대응"이라고 한다.

                          X                                                Y

                          A    -----------------------------------------------------> a

                          B    -----------------------------------------------------> b

                          C   ----------------------------------------------------->  c 

3.함수를 수학 기호로 어떻게 표시할까?

  귤 1개에 200원에 판매를 하고 있습니다.귤의 개수와 판매가격 사이의 관계는?

  귤의 개수와 판매 가격 사이에는 일정한 관계가 있기 때문에 함수로 표시할 수 있다. 함수를 수학 기호로 표시하기 위해서는 X나 Y같은 변수를 사용하는데

  이 경우에 귤의 개수를 X개, 판매 가격을 Y원이라고 하면, X와 Y의 관계를 "X ×  200 = Y"로 나타낼 수 있다.

  <귤의 개수와 판매 가격>

귤의개수(X)	1개	2개	3개	×개
판매가격(Y)	200원	400원	600원	(X × 200)

귤의 개수 X와 판매 가격 Y는 일대일 대응을 한다.

이렇게 집합 X의 모든 원소가, 집합 Y의 원소와 대응할 때, 이러한 관계가 "함수"이다.

이것을 기호로 표시 하면>

집합X의 원소x가  집합Y의 원소y와 대응하면 "x----->y"로 나타내고, "x가 y에 대응한다."고 표현한다. 

집합X에서 집합Y로의 함수는 "f:X---->Y"로 나타낸다. 함수기호 f는 "function"의 첫글자로 나타낸 것 입니다.

이때 집합 X를 함수 f의 "정의역", 집합Y를 함수 f의 "공역 또는 공변역"이라고 한다.

f(함수 이름) : X(정의역)  -----------------> Y(공역)

 

이처럼 x값에 따라 y값이 달라지는 질 때, 두 변수 x,y의 식에서 x의 값에 따라 y값이 정해질 때, "y는 x의 함수"라고 정의 한다.

이때 "X × 200 = Y"는 X와 Y의 관계를 나타내는 식이되고, "Y= f(X)"라고 표시 할 수도 있다.

 

4.함수와 함수가 아닌 것

   1) 일대일 대응 (함수)

   2)정의역의 원소가 공통의 대응 원를 갖는 경우(함수)

   3)정의역의 원소는 공역의 원소와 대응하지만 공역의 원소 일부가 남는 경우(함수)

   4)정의역 원소 하나가 2개의 대응 원소를 갖는 경우(함수가 아니다.)

   5)정의역 원소 중 일부가 대응 원소를 갖지 않는 경우(함수가 아니다.)

   ※ 함수기에서 들어가는 값은 다르지만 비례상수가 "0"인 경우는 정의역원소에 대응하는 공역의 원소가 "0"일 뿐이지만 이때, 이 관계식은 함수가 된다. 

 

5.함수를 그래프로 어떻게 나타낼 수 있을까?

  1) 좌표평면은 좌표축이 그려져 있는 평면

      좌표평면에서 가로축을 X축, 세로축을 Y축이라 하고, 이 두축을 통틀어 "좌표축"이라 한다. 이때 원점은 X축과 Y축의 교점이다.

      좌표평면 위에 있는 점의 위치는 "좌표"로 나타낼 수 있습니다. 이때 "좌표"란 좌표평면에서 점의 위치를 순서쌍(X값,Y값)으로 나타낸 것을 말한다.

      좌표평면을 좌표축으로 나눈 4개의 영역을 "사분면"이라 합니다. 이 네 부분은 각각 좌표평면의 1/4이 되는데, 사분면이란 "4분의 1면"을 줄인말 이다.

      좌표축은 어느 사분면에도 속하지 않는다.

  2)함수 관계를 좌표평면 위에 나타내기

     f(x) : X----->Y [함수 f(x)가 집합X에 대응하는 집합Y의 원소와 대응한다.(1, 10) (2, 20) (3, 10)..

     함수 관계에 있는 집합 X는 정의역 이고 집합Y는 공역(공변역)이 된다.

     이때 정의역의 원소에 대응하는 집합 Y의 값은 "치역"이라 표현하고, 치역은 공역의 부분집합이된다. (치역⊂ 공역) 

     치역 = "함수의 값전체의 범위"이라고도 한다.

6.절편

  함수그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 이 그래프의"x절편"이라 하고, (y=0일때)

                     y축과 만나는 점의 y좌표를 이 그래프의 "y절편"이라 한다.(x=0일때) <절편이란 끓어낸 조각>

 

7.독립 변수와 종속 변수 

  공부하는 시간이 많을 수록 학업 성적이 좋아진다면, 공부하는 시간과 학업 성적 사이의 함수관계는  " f(공부시간) = 학업성적" 으로 표시 할 수 있다.

  이때 공부 시간은 독립적으로 조절할 수 있지만, 그 결과인 학업 성적은 공부 시간의 영향을 받는다.

  함수에서는 공부 시간처럼 독립적으로 변화할 수 있는 수를 "독립변수"라 하고

                  학업 성적처럼 독립 변수의 변화에 따라 값이 결정되는 수를 "종속변수"라 한다.

                  만약에 학업 성적이 공부 시간뿐 아니라  지능 지수와도 관계가 있다고 할때, 공부 시간, 지능 지수,학업 성적 사이의 함수 관계는 다음과 같다.

                  f(공부 시가, 지능 지수) = 학업 성적 

                 공부 시간과 지능 지수는 독립변수가 되고, 학업 성적은 종속변수가 된다.

                 독립변수가 2개 이상인 함수를 "다변수 함수"라 한다. 

      예>물을 가열하는 시간이 증가 할 수록 온도가 증가 한다.가열 시간과 물의 온도는 함수관계있다.(가열 시간:독립변수 / 물의 온도:종속변수)

            열차 요금은 이동 거리와 함수 관계가 있다.거리가 정해지면 요금이 결정되어지기 때문에, (거리는 독립 변수이고, 요금은 종속변수가 된다.)

 

8.X축이나 Y축에 평행한 그래프의 식 

   1) X축에 평행한 그래프  (y=b인 그래프 ) 순서쌍(0 , b)

      X축과 같은 그래프 Y=0인 그래프.

   2) Y축에 평행한 그래프 (X=a인 그래프)

      Y축과 같은 그래프 X=0인 그래프.

 

9.치역과 공역은 어떻게 다를까?

  집합X는 정의역.   집합Y는 치역,  집합 Y에서 집합 X의 원소에 대응하는 원소들의 집합을 "함수의 값"또는 "치역"이라 한다.

  이때 치역은 함수값 전체의 범위를 의미한다.

  함수에서 정의역과 치역을 표시하는 방법

  집합X의 원소 x의 범위는 다음과같은 형태로 평시한다.

  X = { x ∣ 최소값≦x≦최대값} 을 관계식에 대입하면 Y값의 함수값 범위를 찾을 수 있다.