함수의 개념2

함수는 수학에서 만들어진 용어지만, 우리 일상 생활에서도 자주 사용하는 말이다.

예를 들어, 어떤 두 사건이 서로 영향을 미치는 밀접한 관계게 있다면 , 그 두 사건은 서로 함수 관계에 있다고 말합니다. 

원래 함수라는 말은 17세기 독일의 수학자   라이프니츠에 의해서 처음 사용되었다고 합니다. 함수를 영어로는 function이라고 하는데 이말은 ,이 말은 "기능,작용"을 뜻하는 말입니다.즉, 수학에서 함수란 "값이 주어졌을 때 그 값에 대한 결과를 나오게 하는 작용"을 가리킵니다.

함수를 한자로 쓰면"函數"라고 쓰는데 ,이것은 영어" function"의 중국어 발음을 한자로 옮긴 것이지요.하지만 발음만을 그대로 옮긴 글자는 아닙니다. 한자"函"에는  물건을 상자에 넣는다는 뜻이 들어 있는데, 이것은 "어떠한 값을 상자에 넣었을때 새로운 값이 나오는 것"을 뜻합니다. 

 

수학의 많은 개념들이 바로 이 함수와 밀접한 관계가 있습니다.

- 정비례와 반비례의 개념도 함수로 이해할 수 있고,

- X나 Y같은 미지수를 사용한 방정식도 함수와 관련이 있습니다.

- 또 어떤 원인과 결과를 나타내는 수학적인 표나 그래프를 통해서도 함수를 해석할 수 있습니다.

 

1.일차함수란 무엇일까?

함수 "y = f(x)"에서 y가 x에 관한 일차식일 때 이 함수를 "일차함수"라고 한다.

즉, 차수가 1인 함수가 일차함수입니다.

마찬가지로 "y = f(x)"의 함수에서 y가 x에 관한 이차식이라면, 이 함수는 "이차함수"입니다.

 <1차함수와 2차함수의 일반식>

함수의 일반식(a≠0)		함수의 예
일차함수	이차함수	일차함수	이차함수
y=f(x) =ax+b	y=f(x) =ax제곱+bx+c	y=2x+1	y=3x제곱+5x+1

함수를 그래프로 나타내기 위해서는,

먼저 x와 y의 값의 순서쌍을 찾고 좌표평면 위에 점으로 표시한 다음, 점과 점을 연결하면 됩니다.

그래프의 기울어진 정도가 그래프의 기울기인데, 그래프의 기울기는 x의 값이 변할 때, y의 값의 변화 정도를 나타낸 것입니다.

기울기 = y값의 변화량/x값의 변화량 = 나중 y값 - 처음 y값/나중 x값 - 처음 -x값

일차함수 y = ax+b 에서 (a,b는 상수) a는 기울기이고 b는 y절편이 된다.

일차함수의 그래프가 직선형태를 갖는다고 해서, 일차함수를 "선형 함수"라고도 한다.

(선형:liner:집합 M의 원소에 대하여 1차결합의 형태로 나타낸 것을 말한다 .)

 

2.차수와 일차함수

 식에서 사용한 변수를 경우에 따라서 제곱의 형태로 나타낼 수 있는 데,

 변수를 곱한 수를 수학에서는 "차수"라고 한다. 다항식에서는 항의 차수 중에서 가장 큰것을 기준으로 그 다항식의 차수를 결정한다.

 그래서 차수가 1인 식은 일차식, 차수가 2인식은 이차식이 된다.

 

3.일차함수의 그래프 특징...?

  "y=ax" (a≠0)에서 x=0, y=0를 지나기에 이 그래프는 원점(0,0)을 지나는 직선이다.

   기울기의 방향은

a>0(양수)일때	a<0(음수)일때
- 함수의 그래프는 오른쪽 위로 향하는 직선 - 1사분면과 3사분면을 지난다. - x값이 증가하면 y값도 증가한다.	- 함수의 그래프는 오른쪽 아래로 향하는 직선 - 제2사분면과 제4사분면을 지난다. - x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

 

"y=ax+b"의 그래프는 "y=ax"의 그래프를 y축으로 b만큼 평행이동한 그래프이다.

 절편의 부호에 따라 

b>0(양수)일때	b<0(음수)일때
y=ax+b(a≠0)의 그래프는 "y=ax"의 그래프를 y축에서 양의 방향으로 b만큼 평행 이동한 그래프이다.	y축에서 음의 방향으로 절대값 ∣b∣만큼 평행이동한 그래프이다.

 

4.이차함수의 그래프

   이차함수:

   종속변수(從屬變數) y가 독립변수 x의 이차식으로 표시될 때 y를 x의 이차함수라 하고, 그 일반형은 y=ax2＋bx＋c (a≠0)이다.

크게보기

이차함수

 

이차함수는 a＞0이면 x=－b/2a에서 y=－(b²－4ac)/4a를 최소값으로 하며, a＜0이면 x=－b/2a에서 y=－(b²－4ac)/4a를 최대값으로 한다.

기하적으로, 방정식 y=ax²＋bx＋c의 그래프는 xy평면 위에서 y축에 평행인 축을 갖는 포물선으로서, a＞0이면 아래로 볼록, a＜0이면 위로볼록이다. 그 꼭지점 및 초점의 좌표는 각각,

      

      

이며, 축 및 준선의 방정식은 각각,

       

이다.

또 포물선 위의 1점 (x₀,y₀)에 대한 접선의 방정식은 y=(2ax₀＋b)x－(ax₀²c) 이다.

b²－4ac＞0이면 x축과 두 점에서 만나며, b²－4ac=0이면 x축에 접한다.

b²－4ac＜0이면 x축과공유점을 갖지 않는다.

[출처] 이차함수 | 두산백과

 ※ 이차함수의 y=x제곱 그래프는 일차함수의 그래프와는 달리 순서싼(x , y)를 좌표로 하는 점들이 매끄러운 곡선으로 연결된다.

     이 그래프는 y축을 중심으로 오른쪽(1사분면)과 왼쪽(제2사분면)으로 나누어 생각해 볼 수 있다. 먼저 오른 쪽 부분에서는

     x의 값이 커질수록 y값의 값도 커지지만, 왼쪽 부분인 "x<0"의 범위에서 그래프의 모양은 x의 값이 커질 수록 y의 값이 감소한다.

    또 이 그래프는 원점을 지나고 y축에 대칭인 그래프이다. 이것을 "포물성 그래프"라고 한다.포물선 그래프의 기본 모양은 다음 과 같다.

    

y=ax²의 그래프

(1) 이차함수의 그래프
이차함수 y=ax²의 그래프와 같은 곡선을 포물선이라 하고, 포물선의 대칭축을 포물선의 축, 포물선과 축이 만나는 교점을 포물선의 꼭지점이라 한다.

 

이차함수의 그래프

 

(2) 이차함수 y=ax²의 그래프
① 원점 (0, 0)을 꼭지점으로 하고 y축을 축으로 하는 포물선이다.
② a>0이면 아래로 볼록하고, a<0이면 위로 볼록하다.

 

이차함수 y=ax²의 그래프

 

이차함수 y=ax²의 그래프

 

③ a의 절대값이 클수록 포물선의 폭이 좁아진다.
④ y=-ax²의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다.
[참고] y=ax²의 그래프는 x의 값이 증가하면 y의 값은
(ⅰ) a>0 일 때, x>0이면 증가하고 x<0이면 감소한다.
(ⅱ) a<0 일 때, x>0이면 감소하고 x<0이면 증가한다.