경문수학산책 1 수학의 위대한 순간들 (1)|

경문수학산책 1, 수학의 위대한 순간들(Great Moments in Mathematics), Howard Eves 지음, 허민, 오혜영 옮김, 640쪽, 1994년 초판, 2003년 개정

 

《수학의 위대한 순간들》은 數學史(수학사)의 빛나는 업적 가운데에서 가려 뽑은 39개의 主題(주제)에 대한 43개의 史實(사실)의 講義(강의)로 이루어져 있으며, 매 강의의 말미에는 그에 연관되는 연습문제를 달고 있다. 그리고 부득이 제한된 강의에 포함되지는 않았으나 그냥 지나칠 수 없는 20개의 업적을 40번째의 강의로 덧붙이고 있다.

 

1. 긁기와 응얼거림 : 일대일 대응에 의한 셈(수천 년 전)

수천 년 전에 원시인들이 진흙이나 돌을 긁어서 어떤 집합을 세기 시작하였을 때 매우 가능성 있는 최초의 수학의 위대한 순간이 나타났다. 작은 집합의 개수를 세기 위하여 그 집합의 각 원소에 대하여 손가락을 펴겨나 접다가, 조금 더 큰 집합에 대하여는 진흙이나 돌 위를 긁어서 표시하었고, 그 뒤에는 집합의 개수를 소리로 세기 위하여 일종의 웅얼거림으로 발전하였을 것이며, 그 보다 더 뒤에는 그러한 수를 표현하기 위하여 숫자와 같은 기호들이 생겼을 것이다.

하나의 숫자를 특정한 상징으로써 나타내는 일대일 대응은 five와 hand의 관계처럼 신체의 각 부분을 이용한 것이 많았다.

 

2. 이집트의 가장 높은 피라미드 : 각뿔대 부피의 유도(기원 전 1850년경)

기원 전 1850년경의 것으로 추정되는 모스크바 파피루스는 25개의 문제를 포함하고 있는 수학적 문헌인데 ,그 문제의 14에는 이러한 수치적 보기가 있다. “당신에게 수직 높이가 6, 밑면의 길이가 4, 윗면의 길이가 2인 상단부가 잘린 피라미드가 주어져 있다. 당신은 4를 제곱해서 16을 얻는다. 당신은 4를 두 배해서 8을 얻는다. 당신은 2를 제곱해서 4를 얻는다. 당신은 16, 8, 4을 합해서 28을 얻는다. 당신은 6의 1/3을 택해서 2를 얻는다. 당신은 28을 두 배해서 56을 얻는다. 보라. 이것은 56이다. 당신은 이것이 옳음을 발견할 것이다.” 이것은 고대 이집트의 피라미드의 실질적 건설보다도 훨씬 놀라운 각뿔대의 부피를 구하는 정확한 공식에 대한 설명이다. 그것은 (수식 1)이다.

 

3. 실험실에서 연구로 : 연역적 과정의 도입(기원 전 600년경)

밀레투스(miletus)의 탈레스(Thales)는 수학사에서 최초로 이름이 알려진 인물이며, 연역적 기하학을 발견하였고, 몇 가지 기초적 결과를 얻은 것으로 믿어지고 있다.

  (1) 원은 임의의 지름으로 2등분 된다.

  (2) 이등변 삼각형의 두 밑각은 서로 같다.

  (3) 교차하는 두 직선에 의하여 이루어지는 두 맞꼭지각은 서로 같다.

  (4) 두 삼각형에서 대응하는 두 각이 서로 같고, 대응하는 한 변이 서로 같으면 합동이다.

  (5) 반원에 내접하는 각은 직각이다.

 

4. 최초의 위대한 정리 : 피타고라스 정리(기원 전 540년경)

“임의의 직각 삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.”라는 피타고라스(Pythagoras)의 정리는 수학에 있어서 최초의 위대한 정리이다. 메소포타미아에서 발굴된 쐐기 문자의 점토판은 피타고라스보다 1000년 이상 이전에 고대 바빌로니아 사람들이 이 정리를 알고 있음을 밝혀주고 있으며, 이 정리에 대한 지식은 고대 인도와 중국의 문헌에서도 나타난다. 그러나 이 정리에 대한 증명은 피타고라스 또는 그 학파의 사람에 의하여 최초로 제공되었다. 그 이후 수학의 분야에서 이보다 더 다양한 증명이 이루어진 정리는 없을 것이며, 이에 대하여는 370가지 이상의 증명이 수집된 바 있다.

 

5. 최초의 위기의 도래 : 무리수의 발견(기원 전 540년경)

피타고라스 학파는 수직선 위에는 단위의 길이를 가진 정사각형의 대각선과 길이가 같은 거리에 존재하는 유리수가 존재하지 않는다는 사실을 발견하였다. 그러한 수들은 유리수(rational number) 즉 비율수(ratio number)가 될 수 없기 때문에 무리수(irrational number)로 불리게 되었다. 단위 선분을 가진 정사각형의 대각선의 길이는 (수식 2)이다.

 

6. 최초 위기의 극복 : 에우독소스의 비율 이론(기원 전 370년경)

그리스의 탁월한 수학자인 에우독소스(Eudoxus)와 플라톤의 제자이며 피타고라스 학파의 한 사람인 아르키타스(Archytas)는 크기에 대해서 같은 단위로 측정할 수 있거나 측정할 수 없는 것과는 완전하게 무관한 비율 또는 두 비의 상등을 정의하였다. “네 개의 量(양)이 있다고 하자. 첫째와 셋째에 대해 임의로 택한 등배수와 둘째와 넷째에 대해 임의로 택한 등배수에 대해서 만약 첫째와 셋째의 등배수가 둘째와 넷째의 등배수보다 똑같이 크거나 똑같이 같거나 똑같이 작으면 그 네 개의 양은 첫째에 대한 둘째의 비와 셋째에 대한 넷째의 비는 서로 같다고 말한다.

 

7. 수학의 체계화를 위한 첫걸음 : 실질적 공리학(기원 전 350년)

실질적 공리학의 양식은 하나, 논설의 어떠한 기본적인 전문적 용어들에 대한 설명이 주어진다. 둘, 그 기본적 용어들에 관한 초기의 설명들에 의하여 제시된 성질들에 근거하여 참이라고 받아들여지는 주요한 명제들이 나열된다. 셋, 그 논설의 다른 모든 전문적 용어들은 그 이전에 도입된 용어들을 사용해서 정의된다. 넷, 그 논설의 다른 모든 명제들은 그 이전에 받아들여졌거나 증명된 명제들로부터 논리적으로 유도된다. 이와 같이 유도된 명제를 그 논설의 ‘정리(theorem)’라고 부른다.

가정을 例(예)로 하여 살핀다.

P1 S의 각 사람은 적어도 한 개의 동아리의 구성원이 된다.

P2 S에 속하는 사람들의 각 쌍은 반드시 꼭 한 개의 동아리에 동시에 속한다.

정의 공통의 구성원을 갖지 않은 동아리를 켤레 동아리라고 한다.

P3 각 동아리에 대해서 반드시 꼭 한 개의 켤레 동아리가 존재한다.

위 가정으로부터 네 가지의 결과가 유도된다.

T1 S의 각 사람은 적어도 두 개의 동아리의 구성원이다.

T2 각 동아리는 적어도 두 명의 구성원을 포함한다.

T3 S는 적어도 네 명의 구성원을 포함한다.

T4 적어도 여섯 개의 동아리가 존재한다.

T5 두 명보다 많은 구성원을 가진 동아리는 없다.

 

8. 수학자의 성서 : 유클리드의 '원론'(기원 전 300년)

유클리드(Euclid)의 '원론(Elements)'은 처음에 출현하였을 때부터 최상의 존경을 받았으며, 성경을 제외한다면 이것보다 더 널리 사용되고 연구되었으며 더 많이 편집된 것은 없다. 그러나 유클리드가 활동하였던 시대로부터 전해지는 유클리드의 '원론'은 존재하지 않는다. 그 '원론'의 현대적 개정본은 모두 유클리드보다 700년 뒤의 사람인 알렉산드리아의 테온(Theon)이 편집한 개정본에 근거하고 있다. 그리고 유클리드의 '원론'을 최초로 라틴어로 완전하게 번역한 것은 그리스 책이 아니라 아라비아 책으로부터 이루어졌다.

테온의 개정본에 의하면, 유클리드의 '원론'은 13권의 책으로 이루어져 있고, 465개의 정리가 담겨 있다. 그 가운데에는 이러한 공리와 공준이 있다.

  (1) 임의의 두 점을 연결해서 하나의 직선을 그릴 수 있다.

  (2) 선분은 양방향으로 연속적으로 하나의 직선으로 연장할 수 있다.

  (3) 임의로 주어진 점을 중심으로 갖고 임의로 주어진 점을 통과하는 원을 그릴 수 있다.

  (4) 모든 직각은 서로 같다.

  (5) 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을 한 없이 연장하면 내각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다.

 

9. 철학자와 살인자 : 아르키메데스의 업적(기원 전 240년경)

아르키메데스(Archimedes)에 대하여는 왕관에 대한 이야기가 자주 인용된다. 금세공인이 왕관을 만들면서 금의 일부를 은으로 대체하였을 것이라는 왕의 의심을 해결하기 위하여 몰두하던 아르키메데스가 공중목욕탕에 있을 때 “액체에 잠긴 물체는 그 물체에 의하여 밀려난 액체의 무게와 같은 부력을 받는다”라는 유체역학의 제1법칙을 발견함으로써 알몸으로 뛰어나가면서 "찾았다(eureka)"라고 소리쳤다는 것은 유명하다.

아르키메데스가 쓴 10권의 책의 내용 가운데에서 ‘구와 원기둥에 대하여(On the Sphere and Cylinder)’와 ‘방법론(Method)’을 고려한다. ‘구와 원기둥에 대하여’에는 최초로 구와 하나의 밑면을 갖는 구면띠의 넓이 및 구와 하나의 밑면을 갖는 구면대의 부피에 대한 정확한 공식이 등장한다. “구의 대원과 같은 밑면을 갖고 그 구의 지름과 같은 높이를 가진 원기둥은 그 구의 겉 넓이의 3/2과 정확하게 같은 옆면과 윗면 및 밑면의 합인 겉넓이를 갖고, 그 구 부피의 3/2과 정확하게 같은 부피를 가진다.” 이것으로부터 얻어지는 친숙한 공식은 (수식 3)이다. ‘방법론’에는 위의 설명을 증명하는 적분법에 동치되는 방법이 나온다. “원하는 넓이나 부피를 찾기 위해서, 그것을 매우 많은 개수의 평행한 가는 띠 또는 얇은 조각으로 자르고, 이미 그 넓이 또는 부피와 무게중심이 알려진 도형과 평형을 이룰 수 있는 방법으로 이 조각들을 주어진 지레의 한쪽 끝에 매단다.”

아르키메데스는 모래사장에서 도형을 연구하고 있다가 침략자의 창에 찔려 죽었는데, 이를 두고 “철학자들과 살인자들의 마찰에서, 살인자들이 언제나 승리하지만, 철학자들은 언제나 그들보다 오래 살아 남는다.” 는 말이 나오게 되었다.

 

10. 천문학의 부추김 : 프톨레마이오스의 현에 대한 수표의 작성(130년경)

삼각법의 유래는 명확하지 않으나, 기원 전 1600년 이전에도 코탄젠트나 시컨트 값에 대한 수표를 포함한 점토판 등이 있다.

테온은 ‘현에 대한 수표(table df chords)의 작성을 다룬 12권의 책을 기원 전 140년 경에 활동한 히파르쿠스(Hipparchus)의 공적으로 돌리고 있으며, 히파르쿠스의 책을 각색한 것으로 믿어지는 프톨레마이오스(Claudius Ptolemy)가 만든 수표는 보존되고 있다.

천문학에 대한 그리스의 연구결과를 프톨레마이오스가 대단히 명확하게 저술한 것은 기원 후 150년 경이다. ‘수학대계(Mathematical Collection)’로 알려진 이 책은 13권으로 이루어져 있는데 ‘현에 대한 수표’는 제1권에서 찾아볼 수 있다. 여기에는 1/2°에서 180°도까지를 1/2°도 간격으로, 주어진 원의 중심각에 대한 현의 길이가 포함되어 있다. 이 수표에 대한 프톨레마이오스의 정리는 “원에 내접하는 사변형에서 대각선의 곱은 두 대변의 곱의 합과 같다.”라는 것이다.

[출처] 경문수학산책 1 수학의 위대한 순간들 (1)|작성자 얼쑤