경문수학산책 1 수학의 위대한 순간들 (5)

40. 변명과 유감
부득이 기본강의에서 제외되기는 하였으나, 명백하게 ‘수학의 위대한 순간들’이라고 꼽을 수 있는 사건들이 있다.

 

  (1) 플림프턴 322(기원 전 1900년∼1600년)
컬럼비아 대학교에 있는 플림프턴(Plimpton)의 고고학 소장품 가운데에서 품목번호가 322인 쐐기문자의 점토판은 기원 전 1900년에서 1600년 사이의 고대 바빌로니아의 서체로 씌어 있다. 이 수표는 피타고라스 관계, 시컨트에 대한 수표를 만드는 방법 등에 대한 지식을 당시에 이미 알고 있었음을 보여 준다.

 

  (2) 제논의 역설(기원 전 약 450년)
크기를 무한하게 나눌 수 있다고 가정하여야 하는가? 또는 크기는 매우 많은 수의 더 이상 나눌 수 없는 극소의 부분으로 이루어져 있다고 가정하여야 하는가? 제논에 의하여 교묘하게 만들어진 이러한 역설들은 수학 특히 미적분학의 발달에 현저한 영향을 끼쳤다.
 
  (3) 아리스토텔레스에 의한 연역적 논리의 체계화(기원 전 약 340년)
어떠한 수학적 체계의 정리들은 공준이라고 불리는 문장들의 초기 집합과, 가정들로부터 결과를 얻기 위한 과정의 논리 또는 규칙들이라고 불리는 또 다른 문장들의 초기 집합 사이의 상호작용의 결과로 나타난다. 이러한 논리에 대하여 최초로 체계적 연구를 한 사람은 아리스토텔레스이다.

 

  (4) 아폴로니오스의 원뿔 곡선론(기원 전 약 250년)
고대 그리스의 기하학적 기법을 아폴로니오스가 쓴 광범위한 ‘원뿔 곡선론’보다 더 훌륭하게 보여준 책은 없었다. 이 작품을 통해서 아폴로니오스는 타원, 포물선, 쌍곡선 등의 이름을 제시하였다. 그리고 직교좌표계에서 이와 같은 곡선들과 기하학적으로 동치인 꼴로부터 유도된 곡선들의 성질을 대단히 많이 증명하였다. 

 

  (5) 알콰리즈미의 공헌(약 820년)
알콰리즈미는 대수학에 대한 하나의 논문과 산술에 대한 하나의 책을 썼다. 이것들은 수학에 대한 초기 아라비아의 모든 업적 가운데에서 가장 영향력이 컸을 것이며, 인도-아라비아의 수체계의 도입과 보급에 주요한 역할을 담당하였다.
   
  (6) 레기오몬타누스의 삼각법(약 1464년)
레기오몬타누스로 알려진 밀러는 15세기의 가장 유능하고 영향력 있는 수학자이었다. 다섯 권으로 이루어진 그의 책 ‘삼각법의 모든 것’은 천문학과는 독립적으로 평면삼각법과 구면삼각법을 고려한 최초의 유럽 해설판이다.

 

  (7) 스테빈과 소수(1585년)
소수의 발명이 단 한 사람에 의하여 이루어진 것은 아니지만, 소수에 대한 최초의 유능한 해설자로 스테빈을 꼽을 수 있으며, 소수에 대한 그의 연구결과는 1595년에 출판되었다.
 
  (8) 해리엇, 영국 대수학파의 창시자(1631년)
해리엇은 영국 대수학파의 창시자로 인정되고 있다. 대수학 분야에서의 그의 뛰어난 저서인 ‘해석술 연습’은 주로 방정식론을 다루고 있으며, 이것은 그 이후의 방정식론에 대한 책들의 본보기가 되었다.

 

  (9) 데자르그와 사영기하학의 탄생(1639년)

1639년에 출판된 데자르그의 책은 종합적인 사영기하학의 초기 발달에 있어서 고전으로 인식되어 왔다.
 
  (10) 학술원, 학회, 정기간행물(1662년, 1666년)
17세기의 과학과 수학 활동의 급격한 증가와 서신왕래에 의한 새로운 발견들의 보급의 부적절함은 토론 집단을 형성하게 하였으며, 학술원과 학회, 그리고 정기간행물의 탄생을 유도하였다.

 

  (11) 베르누이와 변분학(1696년)
베르누이는 1696년에 최속강하선의 문제를 제시하고, 그 해를 구하였다. 최속강하선의 문제는 중력장 내에서 같은 수직선 위에 있지 않은 주어진 두 점 사이를 운동하는 질량점이 가장 빠르게 강하하도록 만드는 곡선을 결정하는 것이다. 미분법은 극값을 주는 점을 찾지만, 최속강하선은 극값을 주는 곡선을 찾는다. 이와 같은 종류의 극값을 연구하는 분야를 ‘변분학(caculus of variation)’이라고 한다.

 

  (12) 퐁슬레와 사영기하학의 황금시대(1822년)
퐁슬레는 1822년에 ‘도형의 사영적 성질에 대하여’라는 책을 출판하였다. 이 책은 사영기하학의 연구에 큰 추진력을 제공하였으며, ‘사영기하학의 황금시대’를 시작하게 하였다.

 

  (13) 쌍대성 원리(1826년)
평면 사영기학학의 정리들을 짝지어 나누는 쌍대성 원리는 1826년에 제르곤에 의하여 최초로 명확하게 설명되었다. 어떠한 방법에 의하여 쌍대성 원리가 증명되면, 쌍대짝을 이루는 두 정리 가운데에서 한 정리의 증명으로 나머지 정리의 증명이 자동적으로 이루어진다. 이후로 삼각방정식의 연구, 구면 삼각형의 기하학, 공간사영기하학, 불 대수, 명제계산, 반순서 집합의 이론 등과 같은 수학의 다른 분야에서도 쌍대성 원리가 존재한다는 사실이 밝혀졌다.

 

  (14) 초월수(1851년, 1873년, 1882년)
대수학의 기본정리, e와 π, 유클리드의 도구를 이용한 일반각의 삼등분, 정육면체의 배적, 원의 구적 등에서 초월수가 나타난다는 것이 1851년 리우빌, 1873년 에르미트, 1882년 린데만 등에 의하여 증명되었다.

 

  (15) 힐베르트의 문제들(1900년)
힐베르트는 1900년의 제2차 국제 수학자 대회에서 수학의 미래를 조망하는 강연을 하기로 하고, 매우 결실이 클 것으로 예상되는 23개의 문제를 선택하였다.

 

  (16) 르베그 적분(1902년)
르베그는 1904년에 출판된 책을 통하여 함수의 정의역이 아닌 치역을 분할함으로써 리만의 개념에 의하여 적분이 불가능한 많은 함수들을 적분이 가능하게 하였으며, 그 결과로 적분이 가능한 함수들의 집합을 대단히 확대시켰다.

 

  (17) 수리 논리학(1910∼1913년)
현대적 논리학을 엄밀하게 다루기 위하여는 상징적 언어가 필요해진다. 이러한 기호들의 출현 때문에 이 분야를 ‘기호논리학 (symbolic logic)’ 또는 ‘수리논리학(mathematical logic)’이라고 부른다. 라이프니츠로부터 비롯된 수리논리학은 화이트헤드와 러셀의 기념비적인 ‘수학적 원리’에 의하여 중요하고 영향력 있는 업적이 이루어졌다.
 
  (18) 다가 논리학(1921년)
고전적 논리학과 상징적 논리학에서 각 명제는 참 또는 거짓이라는 두 가지의 진리값 가운데에서 어느 하나를 가정하기 때문에 이러한 논리학을 ‘이가 논리학(two-valued logic)’이라고 부른다. 그런데 1921년에 루카시에비치는 삼가 논리학을 고려하였으며, 이후에 포스트는 m가 논리학을 생각하였고, 라이헨바흐에 의하여 무한가 논리학으로 확장되었다.

    

  (19) 부르바키(1939년)
프랑스의 부르바키는 수학자들의 비공식적 집단이 사용하는 공동의 필명이다. 부르바키는 가장 일반적이고 기초적인 원리들에서 시작하여 다양적이고 전문적인 분야로 진행하는 수학에 관한 포괄적인 책들의 저자로 되어 있다.

 

  (20) 비표준 해석학(1960년)
1960년에 로빈슨은 무한하게 작은 양인 ‘무한소(infinitesimal)’들과 그것들의 적용을 엄밀한 근거에서 미적분학에 다시 올려놓았다. 미적분학을 대단히 간단하게 만든 그 업적은 교육적 가치와 이론적 가치를 동시에 갖고 있으며, 현세기의 주요한 수학적 업적 가운데 하나임이 판명되었다.

 

[출처] 경문수학산책 1 수학의 위대한 순간들 (5)|작성자 얼쑤