인수와 인수분해,인수정리,나머지정리

 

인수

주어진 정수나 다항식(多項式)을 몇 개의 정수와 다항식의 곱으로 나타낼 때, 그 정수와 다항식을 본래의 것의 인수라고 한다.

주어진 정수 A를 몇 개의 정수의 곱으로 나타낼 때, 이 정수를 본래의 정수 A의 인수라 한다. 또 주어진 다항식 B를 몇 개의 다항식이나 문자의 곱으로 나타낼 때, 이들 다항식 또는 문자를 본래의 다항식 B의 인수라고 한다. 따라서 인수는 약수와 같은 개념으로 생각할 수 있다.

정수의 인수 중 소수인 것을 소인수(素因數)라고 한다. 그리고 숫자의 인수를 수인수(數因數), 문자의 인수를 문자인수, 인수가 기약다항식인 경우 기약인수(旣約因數)라고 한다.

예를 들어, 42 = 1×42 = 2×21 = 3×14 = 6×7 이므로 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42는 모두 42의 인수이자 약수이다. 하지만 인수분해된 식에서 모든 약수가 동시에 나타나지는 않는다. 즉, "42는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42로 인수분해된다."는 틀린 표현이다. 그리고 이 중에서 소수인 2, 3, 7은 42의 소인수이다. 

같은 방법으로 5x = 1×5x = 5×x 이므로 1, 5, x, 5x는 5x의 인수이다. 또, a²－b² = (a＋b)(a－b) 이므로 1, (a＋b), (a－b), (a＋b)(a－b) 는 a²－b² 의 인수이다.

[출처] 인수 | 두산백과

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인수분해

[ factorization , 因數分解 ]

주어진 정수(整數) 또는 다항식(多項式:整式)을 몇 개의 인수의 곱의 꼴로 변형하는 일로 예컨대, ac＋bc＋ad＋bd=(a＋b)(c＋d)로 되며, 좌변의 식인 ac＋bc＋ad＋bd를 우변의 식 (a＋b)(c＋d)로 변형하는 것을 말한다. 다항식의 인수분해에는 공통인수로 묶는 방법, 다항식의 곱셈 공식의 역을 활용하는 방법 등이 있다.

이를테면, ac＋bc＋ad＋bd=(a＋b)(c＋d)로 되며, 좌변의 식인 ac＋bc＋ad＋bd를 우변의 식 (a＋b)(c＋d)로 변형하는 것을 인수분해라고 한다. 그와 반대로 우변과 같은 곱의 꼴로 된 식을 좌변과 같은 꼴로 고치는 것을 전개(展開)한다고 한다.

다항식의 인수분해에는 공통인수로 묶는 방법, 다항식의 곱셈 공식의 역을 활용하는 방법 등이 있다. 차수(次數)가 높은 다항식을 인수분해할 때에는 인수정리(因數定理)를 이용하는 것이 바람직하며, 또 특별한 꼴을 한 식일 경우에는 대칭식(對稱式), 교대식(交代式)의 성질이 쓰인다.

다음은 인수분해의 기본 공식이다.

① ma＋mb＋mc=m(a＋b＋c)
② a²±2ab＋b²=(a±b)²
③ a²－b²＝(a＋b)(a－b)
④ x²±(a＋b)x＋ab=(x±a)(x±b)
⑤ abx²＋(ad＋bc)x＋cd＝(ax＋c)(bx＋d)
⑥ a³±b³=(a±b)(a²ab＋b²)
⑦ a³＋b³＋c³－3abc =(a＋b＋c)(a²＋b²＋c²-ab－bc－ca)

[출처] 인수분해 | 두산백과

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인수정리

[ factor theorem , 因數定理 ]

어떤 다항식이 일차식으로 떨어지기 위한 조건을 밝히는 정리로, x의 다항식 f(x)가 일차식 x-a로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건은 f(a)=0이라는 것인데, 인수분해할 때 이용하는 것이 바람직하며, 차수(次數)가 높은 다항식(삼차 이상)의 해법에 응용된다.

어떤 다항식이 일차식으로 떨어지기 위한 조건을 밝히는 정리이다. 이 정리에 따르면 x의 다항식 f(x)가 일차식 x-a로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건은 f(a)=0이다. f(x)를 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이므로, 이 다항식이 나누어 떨어지기 위한 조건은 f(a)=0라는 나머지정리에서 유도된다.

인수분해할 때 이용하는 것이 바람직하며, 차수(次數)가 높은 다항식(삼차 이상)의 해법에 응용된다. 예를 들면 삼차방정식에서 삼차식의 일차인수가 구해지면 다른 2개의 근은 이차방정식을 풀어서 구한다.

[출처] 인수정리 | 두산백과

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나머지정리

[ remainder theorem , ─定理 ]

x에 대한 다항식 f(x)를 몫으로 나눠 몫보다 한 차수 이하의 나머지를 구하는 식이다. 인수분해나 방정식의 근을 조사하는 경우에 이용된다.

잉여정리(剩餘定理)라고도 한다. x에 대한 다항식 f(x)를 x－a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)와 같다는 정리이다. 인수분해나 방정식의 근을 조사하는 경우에 이용된다. 즉, x에 대한 다항식 f(x)를 x－a로 나누었을 때의 몫을 P(x), 나머지를 R라 하면, R는 일차식으로 나누었을 때의 나머지이므로, 상수(常數)이고, f(x)=(x－a)P(x)+R 가 된다.

위의 식은 항등식(恒等式)이므로 x의 어떤 값에 대해서도 성립한다. 따라서 x=a의 경우도성립하므로 f(a)=R, 그러므로 f(x)를 x－a로 나눈 나머지는 f(a)가 된다. 또 위의 사실에서 f(x)가 x－a로 나누어 떨어지면 f(a)=0이고, 역으로 f(a)=0이면f(x)는 x－a로 나누어 떨어진다. 이것을 인수정리(因數定理)라고 한다. 그리고 f(x)를 ax+b(a≠0)로 나누었을 때의 나머지는 f(－b/a)가 된다.

[출처] 나머지정리 | 두산백과