점 집합과 가측함수

 

점집합

[ point set , 點集合 ]

집합 S에 속하는 원소가 모두 일정한 공간에 속하는 점일 때, S를 점집합이라고 한다. 이를테면 직선 위의 구간(區間), 평면 위의 1개의 삼각형의 내부, 공간 내의 구(球)의 내부 등은 모두 점집합이다.

또, 어떤 집합 S를 추상공간(抽象空間) 또는 공간이라고 할 때, S의 원소를 점, S의 부분집합을 점집합이라고도 한다. 이 점집합의 위상적(位相的)인 성질을 연구하는 수학의 분과를 점집합론이라고 한다.

[출처] 점집합 | 두산백과

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가측함수

[ measurable function , 可測函數 ]

측도 및 적분 이론에서 연구되는 함수이다. 가측집합 A 위에서 정의된 실수값을 취하는 함수 f가 임의의 실수 a와 대소관계를 만족하는 A의 점집합이 가측집합을 이룰 때, f를 가측함수라고 한다.

가측집합 A 위에서 정의된 실수값을 취하는 함수 f가 있을 때, 그 값은 유한 ·무한에 관계 없다고 생각한다. 이 함수 f에 대하여 임의의 실수 a를 취할 때 f≥a를 만족하는 A의 점집합 f＜a를 만족하는 A의 점집합 f＞a를 만족하는 A의 점집합 f≤a를 만족하는 A의 점집합 중에서 어느 것이 가측집합이면, f는 A 위에서 가측이라 하고, f를 A 위의 가측함수라 한다. f, g가 가측함수이면  f+g, af(a는 실수), fg, f/g 등은 (의미가 있는 한) 항상 가측함수이다.

[출처] 가측함수 | 두산백과