계차와 계차법과 계차방정식

 

계차

[ difference , 階差 ]

어떤 수열의 각 수에서 그 하나 앞의 수를 뺀 차를 계차라고 하고, 계차들로 이루어진 수열을 계차수열이라고 한다. 계차수열의 계차를 제2계의 계차라고 하고, 제m계의 계차까지 생각할 수 있다.

정차(定差) 또는 차분(差分)이라고도 한다. 예를 들면, 수열
    u₁,u₂,…,u_n…       ⑴
에서 u_n＝u_n+1－u_n이라 하고, 수열
    u₁,u₂,…u_n,… ⑵
를 만들 때, ⑵를 ⑴의 제1계(階)의 계차라 한다. 또, 수열 ⑵에서
    ²u_n＝u_n+1－u_n이라 하고, 수열
    ²u₁,²u₂,…,²u_n,… ⑶
을 만들 때, 이것을 제2계의 계차라고 한다. 이와 같이 계속하면, 제m계의 계차도 생각할 수 있다. 예를 들면,

1, 8, 18, 35, 63, 106,… ⑴ 원래의 수열
  7, 10, 17, 28, 43,… ⑵ 제1계 계차
    3, 7, 11, 15,… ⑶ 제2계 계차
      4, 4, 4,… ⑷ 제3계 계차
        0, 0,… ⑸ 제4계 계차

이때 제2계의 계차는 등차수열(等差數列)을 이루므로 그 일반항 및 제n항까지의 합을 구할 수 있다. 이 합에서 반대로 원래의 수열 ⑴의 일반항과 합을 구할수 있으며, 이 일반항이 n에 관한 1차식일 때가 등차수열이다. 일반항이 n의 m차식이 되면, ⑴을 m차 등차수열이라 한다.

일반적으로 x의 함수 f(x)에 대하여, a 및 a＋h(h는 유한확정값)가 그 정의구역(定義區域) 안에 있을 경우, f(a)＝f(a＋h)－f(a)를 f(x)의 a에서의 계차라고 한다. 이 경우에도 xⁿ＝a＋nh (n＝1,2,3,…)가 정의구역 안에 있으면, 수열 yⁿ＝f(a＋nh), n＝0,1,2,3,…의 제1계차, 제2계차,…, 제n계차, …를 만들 수 있다. 이들을 각각 f(x)의 제1차분, 제2차분, …, 제n차분, …이라 할 때가 많다.

[출처] 계차 | 두산백과

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계차법

[ differencial calculus , 階差法 ]

미분법과 유사한 방법을 써서 계차 ·계차상(階差商) ·계차방정식 등의 이론을 전개하는 함수방정식론을 말한다. 정차법(定差法) 또는 차분법(差分法)이라고도 한다.

정차법(定差法) 또는 차분법(差分法)이라고도 한다. 또 계차에 관한 이론을 써서 문제를 처리하는 수치계산법을 일반적으로 계차법이라 할 때도 있다.

[출처] 계차법 | 두산백과

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계차방정식

[ difference equation , 階差方程式 ]

함수 y＝f(x)에서 x가 Δx만큼 증가할 때, Δy(x)를 y의 계차라고 하는데, 이 계차의 계차를 제2계차라고 할 때, 최고차 항이 제n계차인 방정식을 n계 계차방정식이라고한다. 계차방정식은 경제학이나 공학 방면에 널리 응용된다.

함수 y＝f(x)에서, 변수 x가 x만큼 증가했을 때 이에 대한 y의 계차를 y(x)로 하고, 이하 제2, 제3, …, 제n계차를 각각 ²y(x), ³y(x), …, ⁿy(x)라고 할 때의 방정식 F(x,y,y(x),²y(x),Δ³y(x),…,ⁿy(x))＝0 를 n계(階)의 계차방정식이라 하고, 이것을 만족시키는 함수 y＝f(x)를 구하는 것을 계차방정식을 푼다고 한다. 정차방정식(定差方程式), 또는 차분방정식(差分方程式)이라고도 한다. 계차방정식에 관해서도 미분방정식과 유사한 이론이 전개된다. 계차방정식은 경제학이나 공학 방면에 널리 응용된다.

[출처] 계차방정식 | 두산백과