확률

확률

[ probability , 確率 ]

하나의 사건이 일어날 수 있는 가능성을 수로 나타낸 것. 동일한 원인에서 특정한 결과가 나오는 비율을 뜻한다. 경우에 따라 이것을 '공산(公算)'이라고도 하는데 통계적 또는 경험적인 것과 수학적 또는 선험적(先驗的)인 것이 있다.

동일한 원인에서 특정한 결과가 나타나는 비율을 뜻한다. 경우에 따라서 이것을 '공산(公算)'이라고도 한다. 통계적 또는 경험적인 것과 수학적 또는 선험적(先驗的)인 것이 있다. 통계적 확률의 예를 들면, 일정한 조건 아래서 만들어지는 제품 1000개에 대해 평균 15개의 불량품이 나온다고 할 때 이 작업에서 불량품을 생산하는 확률은 15/1000, 즉 0.015이다. 또한 어떤 연령의 사람에 대한 연간 사망률 등도 통계적 확률로 볼 수 있다. 수학적 확률의 예로는, 무게중심[重心]이 기하학적인 중심(中心)과 일치하는 정육면체인 주사위를 던졌을 때 특정한 면이 나타나는 확률은 1/6이라 생각할 수 있다. 또한 앞뒤가 대칭인 동전을 던졌을 때 특정한 면이 나타나는 확률은 1/2로 생각할 수 있다.

이처럼 원인과 결과의 관계가 겉보기에 명백한 경우에는 경험에 앞서서 그 확률이 계산될 수 있다. 이렇게 얻어지는 확률을 수학적 확률이라 하고, 이러한 주사위나 동전을 실제로 몇 회까지도 시도해 봄으로써 얻어지는 통계적 확률은 큰수의 법칙(law of great number)에 따라 수학적 확률에 근사적으로 일치하게 된다. 그러나 불량품의 확률이나 사망률 등의 통계적 확률은 조건에 따라서 변화하는 성질을 지니고 있다. 이처럼 원인과 결과의 관계가 조건에 따라 좌우되는 경우 수학적 확률을 계산할 수 없다. 확률의 이론은 프랑스의 B.파스칼, P.페르마 등이 17세기 중엽 도박 문제에 관한 의견을 나누면서 수학적으로 다루기 시작했다고 한다. 이후 베르누이 일가(一家) 및 J.L.라그랑주 등을 통해 발전했고, 다시 통계학에 응용되어 현재의 추계학(推計學)으로 발전했다.

성질

확률에 관한 초보적인 문제로서는 확률의 값, 덧셈정리, 곱셈정리 등을 들 수 있다.

① 확률값: 원인과 결과와의 계(系)를 사건이라고 하면 사건 A가 반드시 일어나는 경우, 사건 A의 확률 P(A)는 100%, 즉 1로 되고 그것이 절대로 일어나지 않으면 사건 A의 확률은 0이 된다. 따라서 일반적으로 사건 A의 확률이 1보다 커지는 경우는 없고 0보다 작아지는 경우도 없다. 확률의 값은 일반적으로 0≤P(A)≤1 과 같이 표현된다.

② 덧셈정리: A,B가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 배반사건(排反事件)의 경우 A 또는 B의 어느 한쪽이 일어날 확률 P(A 또는 B)는 A 및 B가 일어날 확률의 합으로 계산된다. 즉, P(A∪B)=P(A)＋P(B) 로 표현된다. 예를 들면, 주사위를 던지면 각 눈금이 나타날 확률은 각각 1/6이므로 짝수의 눈금이 나타날 확률은



로 된다.

③ 곱셈정리:사건 A와 B가 서로 무관계하게 나타날 때, 즉 독립사건(獨立事件)일 때 A와 B가 동시에 나타날 확률 P(A와 B)는 P(A∩B)＝P(A)×P(B) 로 표현된다. 제1복권 추첨장에서 5장 중 2장, 제2복권 추첨장에서 4장 중 3장에 당첨이 있는 경우 2곳에서 1장씩 사서 동시에 당첨될 확률은



으로 된다. 이 공식은 B가 일어날 확률이 A를 통해 조건이 부가된 경우에도 같은 방법으로 생각할 수 있다. 즉 당첨제비를 다시 추첨제비에 포함시키지 않는 조건 하에서(비복원 추출) 제1복권 추첨장에서만 구입한 2장이 모두 당첨될 확률은



로 된다.