1. Gauss(가우스) 기호의 정의와 활용

1. 가우스 기호

  ⓐ. 정의

가우스 기호는 대괄호[]를 사용하여 나타내는데, 가우스의 기호는 대괄호의 안의 있는 숫자보다 작거나 같은 최대의 정수를 나타내게 하는 것이다.

대괄호의 안에 있는 수는 실수만 들어가야 하며(허수는 정수의 개념이 없으므로 들어가지 못한다.) 가우스 기호의 결과값은 항상 정수가 나오게 된다.

설명은 어려운데 기억해야 할것은 가우스의 기호는 대괄호 안의 수를 넘지 않는(작거나 같은) 최대의 정수라는 것이다. 아래의 예를 보면 쉽게 이해가 될 것이다.

 

[3.1] → 3.1보다 작거나 같은 정수 3, 2, 1, 0, ··· 중에 최대의 정수는 3이다.

[2.139] → 2.139보다 작거나 같은 최대의 정수는 2이다.

[10] → 10보다 작거나 같은 최대의 정수는 10이다.

[-0.1] → -0.1보다 작거나 같은 최대의 정수는 -1이다.

[-3.9] → -3.9보다 작거나 같은 최대의 정수는 -4이다.

 

[21.98] = 21

[-4] = -4

[2.9999] = 2

 

 

처음 접하는 사람은 어려울 수도 있다.

팁을 주자면 수직선상에서 대괄호 안의 숫자를 표시하고 그보다 작거나(왼쪽) 같은 최대의 정수를 찾으면 된다.

 

 

 

 

[-1.66] → 수직선상에서 -1.66의 왼쪽에서 가장 큰 정수는 -2이므로  [-1.66] = -2

 

 

 

 

 

  ⓑ. 가우스의 기호와 값의 범위

가우스의 기호 [ ] 안에 문자가 들어가면 어떻게 될까?

[x]는 어떤 값을 가질까? 정확한 값은 알 수 없지만 확실한 것은 [x]의 값은 정수라는 사실이다.

 

그렇다면 거꾸로 만약 [x]=5라면 x는 어떤 값을 가질까?

가우스 기호의 뜻을 이용하자면 x보다 작거나 같은 최대의 정수가 5라는 소리이므로 x는 5보다는 같거나 커야하며 6이되면 안된다.(x가 6이 되면 [x]=6이 되므로..)

∴ [x]=5 → 5≤x<6

 

또, [x]=-2라면 x의 값을 구해보자.

x보다 작거나 같은 최대의 정수가 -2이므로 x는 -2보다 크거나 같아야 한다.(-1이 되서는 안된다.)

∴ [x]=-2 → -2≤x<-1

 

이것은 몇 번 더 연습해서 숙달하도록 하자.

 

공식화하면 [x]=n(n은 정수)이면 n≤x<n+1

(외우지 말고 숙달하자.)

 

 

(문제) 아래 빈 곳을 드래그하면 풀이와 답이 나옵니다 

 

1. 1<[x]<2를 만족하는 x의 범위를 구하시오.

  [풀이]

[x]는 1보다 크고 2보다 작은데 항상 정수의 값을 가지므로 [x]의 값은 존재하지 않는다. 

∴ x의 해는 없다. 

 

 

2. 1<[x]<3를 만족하는 x의 범위를 구하시오. 

 [풀이]

[x]는 1보다 크고 3보다 작은데 항상 정수의 값을 가지므로 [x]=2 밖에 될 수 없다.

∴ 2≤x<3 (정답)

 

 

3. 5≤x<6를 만족하는 x가 있을 때, [x]의 값은?

[풀이]

x는 5보다 크고 6보다 작은 수이다. 5.xx정도 되는 수이므로 가우스 기호를 씌우면 5가 된다.

∴ [x]=5 (정답)

 

 

 

 

 

ⓒ 가우스와 그래프

 

가우스의 값을 이용해 y=[x]의 그래프를 그려보면 다음과 같이 나온다.

 

 

 

 

 

 

 ⓓ 기타 가우스 기호의 활용

● 

가우스의 기호 [ ] 안에 숫자에 정수를 더하거나 뺀 것은 값의 전체에 더하거나 뺀것과 같다.

[2.5+1]=[2.5]+1=3

이것을 이용하면 가우스를 다른 방법으로 풀이도 가능하다.

[13.215]=[13+0.215]=13+[0.215]=13

 

●

[x]=x → x는 정수라는 의미이다.

x-[x]=0 이렇게 변형되었을 때에도 같은 의미이니 유의하자.

 

●

1에서 100까지의 자연수 중에 3의 배수는 몇 개 있을까?

그것의 개수는 100에서 3으로 나눈 값의 몫과 같다.

 

이것을 가우스로 나타내자면  이렇게 나타낼 수 있다. 중요하지 않지만 일단 공식화 해보면 1~n개의 자연수 중에서 a의 배수의 개수는  라고 정리가 가능하다.

 

 

만약, 1~100까지의 자연수 중에서 2의 배수 또는 3의 배수의 개수를 구하라고 한다면 어떻게 구해야할까?

일단 1에서 100까지 2의배수와 3의개수를 각각 구해서 더한다음 2,3의 최소공배수인 6의 배수를 빼주면 된다.

왜냐하면 2의 배수이면서 3의 배수이기도 한 수는 6의 배수인데 이것은 2의배수를 구할때도 세고, 3의 배수를 구할 때도 세므로 중복해서 구해진다. 그러므로 이것을 한 번 뺌으로써 2의 배수이거나 3의 배수인 수를 구할 수 있는 것이다.

이해만 하면 다른 것도 응용이 될 수 있으리라 믿는다.(질문있으면 댓글에 달아주십쇼)

 

 

<응용문제> 

 

 

 

 

 

 

[출처] 1. Gauss(가우스) 기호의 정의와 활용|작성자 SperoSpera