삼각함수 : sin법칙과 cos법칙, 삼각형과 사각형의 각과 관련된 넓이공식, 부채꼴관련공식

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(8) sin법칙, cos제1법칙/제2법칙

문과는 특수각에 관련된 직각삼각형이 많이 나오는데요 이과는 꼭 그런것만은 아닙니다.

이과에서는 막 생긴 삼각형이 주어지고 변이 주어지고 특정 각을 구하라던지 할 수도 있습니다. 이번에 배울 내용이 그것과 관계가 있어요.

 

먼저 일반적인 삼각형을 정리하고 가려고 합니다!

삼각형은 변이 3개이며, 각이 3개죠. 이 6가지를 삼각형의 6요소라고 해요.

그리고 만약 삼각형 ABC가 있다고 하자면, 예전에는 각을 수식으로 표현할 때 ∠A, ∠B, ∠C라고 썼지만 요즘에는 ∠←이 기호를 생략하고

그냥 대문자만 써도 각이라는 표현이랍니다. A+B+C=π 이런 식으로요.

또, 각과 그 각의 대변(:마주보는 변)은 같은 알파벳을 사용하게 되어있습니다. 하지만 각은 대문자로 쓰고, 대변은 소문자를 쓰지요.

# 대각 : 마주보는각, 대변 : 마주보는 변

 

 

그리고 또 알아둬야할 용어가 최대각과 최소각, 최대변과 최소변입니다.

다 말 그대로 삼각형에서 세 각 중 제일 큰 각(최대각), 제일 작은 각(최소각), 세 변 중 제일 긴 변(최대변), 제일 작은 변(최소변)

그런데 신기한것이 최대각의 대변이 최대변이며, 최소각의 대변이 최소변입니다.

즉, 최대각과 최대변이 서로 마주보고있으며 최소각과 최소변이 각각 마주본다는 뜻입니다.

 

 

마지막으로 내접원과 외접원에 대해서도 아셔야하는데요.

내접원은 삼각형안에 삼각형의 원주가 세 변에 접하는 원을 의미하고

외접원은 삼각형밖의 삼각형이 원주에 세 각을 접하는 원을 의미합니다.

아래의 그림을 보면 어떤 원지 외접원이고 내접원인지 알 수 있겠죠?

또, 내접원의 반지름을 r이라고 쓴다면 외접원의 반지름은 보통 R이 된답니다!

 

 

 

 

삼각형의 외심/내심/무게중심/수심은 나중에 같이 배울 생각이니 걱정마세요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 sin법칙

삼각형의 어느 한 변이건 그 변을 마주보는 각의 싸인값으로 나눈값이 모두 일정한 것입니다.

무슨소리인지 읽어도 잘 모를테니 ㅎㅎ 그림을 추가해서 설명해드릴게요.

위의 삼각형이 존재할 때,

변BC의 길이 a를 마주보는 각인 A의 sin값인 sinA로 나눈값과

변AC의 길이 b를 마주보는 각인 B의 sin값인 sinB로 나눈값이나

변AB의 길이 c를 마주보는 각인 C의 sin값인 sinC로 나눈 값이 모두 같다는 것입니다.!!

 

쉽게 말해

a를 sinA로 나눈 값과 b를 sinB로 나누값과 c를 sinC로 나눈 값이 모두 일정하다는 거죠.

 

그리고 그 일정하게 나오는 값은 그 삼각형의 외접원의 지름과 같다는 신긔방긔한 법칙을 Sin법칙이라고 합니다!

 

 

 

sin법칙의 증명은 다른 블로그에서 참고해주세요.

http://blog.naver.com/leesu52/90177036496 

설명 잘 해놓으셨더라고요.

ㅈ..절대로 귀찮아서가 아닙니다. 가보면 진짜 잘해놨어요.

흠흠..

 

 

그리고 언제쓰는지가 매우 중요한데

아래의 그림과 같이 서로 마주보는 각과변이 2세트로 주어져 총 4가지 요소가 있는데 그 중에 1가지를 모를 때 씁니다. 간단하져 ㅋㅋ

 

한번 구해보세요. 혹시 번분수 처리하는 법 모르는건 아니겠죠.

혹시 모를까봐 http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1100683&cid=200000000&categoryId=200002971

지식백과 주소 남김니다. 정말 네이버는 친절한 서비스인것 같습니다. 하하하 절대 귀찮아서가 아닙니다. 수정해서 쓰다가 다 쓴게 날려서가 아닙니다.하하

 

그리고 외접원에 관련된 공식은

sin법칙과 cos제1법칙, cos제2법칙중에서 sin법칙에서만 나오니까 반드시 기억해주세요!

삼각형과 외접원이 나올 때, 유용하게 쓸 수 있으니까!!

 

 

 

# 가비의 리

'가비의 리'란.. 1:2 이런것을 비례식이라고 하잖아요. 그 '비'를 더해도(加:더할 가) 값은 같다는 수학용어 입니다.

a:b = A:B 라는 비례식이 있는데 a:b = A:B = a+A : b+B도 성립한다는 것이 '가비의 리'입니다.

자세한 내용은 http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B0%80%EB%B9%84%EC%9D%98_%EB%A6%AC 위키백과 참조!

그런데 분수 또한 비례식의 일종이잖아요?(비례식은 언제나 분수로 바꿀 수 있죠)

그러므로 라는 분자는 분자끼리 더하고, 분모는 분모끼리 더한 분수도 같은 값을 가지게 된다는 것이 '가비의 리' 입니다.

 

 

sin법칙을 가비의 리에 대응시키면

 

 

이라는 재밌는 것도 생기니 한번 알아두고 가시는것도 수학적 재료가 될 수 있겠지요.

 

 

 

또, 공식을 보면 sinA:sinB:sinC = a:b:c인것을 알 수 있지요.

(각의 sin값의 비는 각각의 대변의 비와 같다는 뜻)

 

 

sin법칙에 대해서는 이 정도만 알면 된다고 생각이 듭니다.

 

 

 

 

 

 

 

cos제1법칙

정말 당연한 법칙입니다.

간단히 정리하고 넘어갈게요.

위의 그림과 같이 cos공식을 이용해서 두 변을 이용해서 한 변을 나타낼 수 있거든요.

 

빗변을 알면 다른 한 변의 길이를 나타낼 수 있잖아요?

하나의 삼각형을 두개의 직각삼각형으로 쪼개서 밑변을 각각 구한다음

합쳐서 밑변을 각A,B와 그의 대변 BC와 CA의 정보만으로 밑변의 길이를 구할 수 있기에

밑변을 acosB+bcosA라고 나타낼 수 있다는 이야기입니다.

 

cos제1법칙은 암기하는게 아니라 이해하시는 겁니다.

정말 당연한 법칙이거든요.

실제로 저렇게 주어지고 밑변을 구하라고 한다면 웬만해서는 다 비슷하게 자연스럽게 저렇게 이용하여 풀게될겁니다.

 이해하고 넘어가죠.

 

 

 

cos제2법칙

sin법칙은 용도가 꽤 많습니다.? 굉장히 많이 응용되서 쓰임새가 많습니다.

그런데 cos제2법칙은 아쉽게도(?) 쓰임새가 딱 한 개입니다.

일단은 cos제2법칙을 먼저 배워야겠죠?

cos제2법칙은 삼각형의 변 3개와 한 개의 각의 관계식입니다. 쉽게말해 cos제2법칙은 한 각과 세 변의 관계식이지요.

 

아래의 그림의 삼각형이 존재할 때,

 

가 성립하는 것이 코싸인 제 2법칙입니다.

 

외울 땐, cos'각'은 그 각에 이웃하는 변들(a, b)의 곱에 2배한 것분의 이웃하는 변들을 각각 제곱해서 더한 후 마주보는 변을 제곱해서 뺀것과 같다고외우시면 되는데 말을 외우란 소리가 아니라 읽으시면서 직접 써보시면 알겠지만 순서를 익히란 이야기입니다! 잊어버리지 마시길~

 

복습

어떻게 외운다고요? cos각은 그 각에 이웃하는 변들을 곱한 후에 2배한 것분의 이웃한 변을 각각 제곱해 더하고 마주보는 변을 제곱해 뺀것이죠.

어려우면 그냥 외우시고 관련된 문제를 푸셔서 각과 이웃하는 변과 마주보는 변의 관계를 잘 파악하시는 것도 괜찮습니다.

 

 

이 cos제2법칙의 용도는 딱 한개입니다.

3개의 변과 한개의 각중에서 1개를 모를 때, 씁니다.

매우 간단하져 본의아니게 낚은 기분이 드는데 기분탓입니다.

 

 

 

 

부채꼴

 

부채꼴은 두가지 공식만 외우고 있으면 됩니다.

각과 반지름을 이용해서 호를 구하는 공식과 부채꼴의 넓이를 구하는 공식을 알면 되요.

도출하는 방법은 생략합니다.

간단하니 외우기도 쉬울거에요.

 

 

 

외워요!

 

 

각과관련된 막생긴삼각형의넓이/평행사변형의넓이/막생긴사각형의넓이

막생긴 삼각영이 아래와 같이 존재한다고 해요!

각과 관련된 넓이공식을 도출하려고 합니다.

삼각형의 넓이 공식은 " ½ × 밑변 × 높이 "잖아요?

위의 그림에서 밑변은 q이니까 높이만 구해주면 되는데요.

sin공식을 이용해서 높이는 p×sinθ인 것을 알 수 있습니다.

따라서 삼각형의 넓이는 ½ × 밑변 × 높이이므로 ½ × p × q × sinθ = ½pqsinθ (이분의피큐싸인세타)라고 간단히 외워주시면 되겠습니다.

이것이 막생긴 삼각형에서 두 변과 사이각을 알 때의 공식인데요.

 

아래와 같이 평행사변형을 이어서 만들 수 있거든요?

당연히 삼각형의 두배를 넓이로 가지니 여기서 평행사변형의 넓이공식이 나옵니다.

한 각과 변2개를 알 때, 평행사변형의 넓이는 p × q × sinθ = pqsinθ (피큐싸인세타)라고 기억하시면 되죠.

 

마지막으로

아래와 같이 막생긴 사각형인데 대각선을 주어졌을 때!!

대각선을 각각 p, q라고 놓고 대각선 때문에 생기는 4개의 각 중 아무각이나 θ라고 잡으면

재밌게도 ½ × p × q × sinθ가 넓이가 됩니다. 어디서 많이 보던것이죠? ㅋ

 

이것은 어떻게 구한것이냐면 대각선의 평행선을 4개의 각꼭지점에 그어서 연결시키면 됩니다.

위와 같이 되는데 여기서

커다란 평행사변형이 만들어지는데 그 값은 pqsinθ이므로, 구하고자 하는 사각형은 그 큰 평행사변형의 절반의이니 넓이를 2로 나눠주면 되죠.

 

[출처] 7장 - 삼각함수 : sin법칙과 cos법칙, 삼각형과 사각형의 각과 관련된 넓이공식, 부채꼴관련공식|작성자 SperoSpera