절댓값 방정식, 부등식

● 절댓값 방정식

 

 

  

만약 |x|=3 라고 되어있으면 x의 값을 구할 수 있으신가요?

이전 포스팅에서는 절댓값이 포함되어 있는 식에서 절댓값이 없는 식으로 바꾼 것이지만

|x|=3와 같이 절댓값 방정식은 아까 같은 방법으로 푼다면 가능은 하지만 쓸데없이 오래 걸리는 풀이가 되어 버립니다.

 

한번 아까처럼 해볼까요?

|x|=3 을 해석하면 x라는 값의 절댓값은 3이라는 뜻이죠.

x>0이라면 |x|는 절댓값 기호만 사라지므로 |x|=3은 x=3이 되고, x<0이라면 |x|는 -x가 되므로 -x=3이 되므로 x=-3이 나옵니다.

정리하면

 이렇게 되는데

쓸데없이 시간만 길어지고 식도 지저분해집니다. 즉, |x|=3은 x가 3이거나 -3이라는 소리인데

x가 3이라면 x는 0보다 큰 것이 당연하기에 굳이 (x>0)을 쓸 필요가 없습니다. (x<0)도 마찬가지로 쓸 필요 없지요.

 

그러므로 절댓값 방정식이 주어지면 절댓값이 포함된 식에서 절댓값이 없는 식으로 바꿀 때와는 아래와 같이 풀이해주는 것이 좋습니다.

만약 |x|=3라는 식이 있다면 당연히 x는 -3이거나 3이 됩니다.

절댓값이 3인 수는 -3 또는 3이잖아요? 당연한 것입니다. 이해 가시나요?

이걸 이렇게 표현하면 됩니다. |x|=3  →  x=3 또는 x=-3 (이렇게 표기하기도 합니다. " x = ±3 " 결국 같은 표현입니다.)

 

그렇다면 |x-3|=2에서 x의 값을 한번 구해볼까요?

x-3의 절댓값이 2라는 소리는

x-3이 2이거나 -2라는 소리이므로

x-3=2 또는 x-3=-2라는 소리이므로

x=5 또는 x=1이 됩니다. (∵ x-3=2 → x=5,  x-3=-2 → x=1)

 감 잡으시겠죠?

 

 

또, |x|=-3라는 식을 구해봅시다. 답은 없다입니다.

절댓값이 붙은 식의 결과는 항상 양수가 되어야 하는데.. 음수가 나오기 때문이죠.

다시말해.. 절댓값 기호 안에 어떤 수가 들어가던 결과는 양수가 나와야 하는데 

|x|의 결과가 -3이 가 되는 x는 존재하지 않으므로, x의 값은 존재하지 않게 되는 겁니다.

 

절댓값 방정식의 풀이를 일반화하자면

만약 |x|=a (a≥0)라고 한다면 x = ±a (x=a 또는 x=-a)가 답이 되겠죠.

|x-a|=b (b≥0) 라고 한다면 x-a = ±b이므로 x=a±b가 답이 되겠죠...

무슨 말인지 아시나요? 외우자는 게 아니라 당연한 풀이를 한 것입니다.

이렇게 유도만 하실 수 있으면 성공입니다. 외우지 마세요..;; 외울 필요가 없는 것이죠.

 

|2x-1|=3에서 x를 구해볼까요?

2x-1=±3

2x=1±3

2x= 4 또는 2x=-2

∴ x=2 또는 x=-1

이해 가시죠?

 

 

그런데 만약 아래와 같이 문제가 나오면 어떻게 풀이하시겠습니까?

|2x-1|=|x+1|

밥은 먹으라고 만든 거죠?

술은 왜 만들었나요? 먹으라고 만든 거죠! 버리라고 만들었을까요?

정말 몸에 해악을 끼치는 담배는 왜 만들었나요?

그건 누가 만들었을까요? 왜 정부는 그것을 마약으로 금지하지 않고 파는 것을 허용하고 세금을 엄청나게 붙여놓은 걸까요?

담배는 사지 말라고 만든 게 아니죠? 피라고 만든 거예요. 그걸로 돈을 벌려고 정부에서 묵인하고 있는 거고요.

담배를 피우는 멍청한 사람들이나 그걸 이용해 돈벌이로 사용하고 있는 정부나 똑같이 어리석죠?

그런데 절댓값은 뭐 하라고 있다고요?

아까 웬만하면 절댓값이 없는 식으로 바꾸라고 말했죠? '웬만하면'이 아니라 제발 바꿔주시길 바랄게요 ㅋ

 

 

 

|2x-1|=|x+1|는 어떻게 풀까요?

여러가지 풀이가 있는데.. 일단 구간을 나눠볼까요?

구간은 절댓값 기호의 안쪽에 있는 알맹이가 양수와 음수로 나누어지는 기점으로 나눠야 합니다. 

그런데 절댓값 기호가 2개나 있으므로 기준도 2개가 되어버립니다.

절댓값 안의 값이 양수와 음수로 나눠지는 값인 x의 값이 ½과 -1을 기준으로 3등분으로 나눠서 생각해볼까요...

 

만약 x가 -1보다 작다면 |2x-1|의 알맹이인 2x-1은 음수가 됩니다.(구해보세요 음수 나와요) |x+1|의 알맹이인 x+1도 음수가 나옵니다.

그러므로 x<-1의 구간에서는 -(2x-1)=-(x+1)이라는 값이 나오고

x가 -1보다는 크고 ½보다는 작은 값이라면(-1 < x < ½) 2x-1은 음수이지만 x+1은 양수가 나오므로

따라서 -1 < x < ½의 구간에서는 -(2x-1) = (x+1)이라는 값이 나오고

x가 ½보다 크다면 2x-1도 양수이고 x+1도 양수가 나오므로

따라서 x > ½ 의 구간에서는 2x-1=x+1라는 값이 나옵니다.

 

그런데 x<-1의 구간에서 구한것과 x > ½의 구간에서 구한값은 서로 일치합니다.

 

즉, |2x-1|=|x+1|의 값은 

 

 이며, 정리한다면

 

 

 

 

 

 

 

 

그런데 재밌는 사실은 지금구했던 양변에 절댓값이 있는 식 |2x-1|=|x+1|의 값은

한쪽에만 절댓값이 있는 식으로 바꾼 |2x-1|=x+1나 2x-1=|x-1|의 값과 일치한다는 사실입니다.

 

 

즉, 사실.. 말하고자 했던 바는 양변에 절대값이 있는 값은 결국 한쪽에만 절댓값으로 바꾸어서 풀이해도 된다는 것입니다.

 

그러므로

|2x-1|=|x+1|

이 식을 

2x-1=±(x+1)

라고 놓고 풀이하시면 되겠습니다.

 

 

결국 양 변에 절댓값이 있던 한 쪽에만 절대값이 있던 결국 같은 방식으로 풀이하면 된다는 소리를 하고 싶었습니다 ^^ 

아시겠죠?

 

 

 

 

 

 

 

● 2차가 포함되어 있는 절댓값 방정식

2차방정식의 풀이를 기억하시나요?

x²-3x+2=0

→ (x-2)(x-1)=0

 ∴ x=2 또는 x=1

 

그런데 만약 이렇게 나온다면 어떡할까요?

|x|²-3|x|+2=0

2차방정식과 풀이는 처음에는 완전 똑같습니다.(치환하셔도 됩니다.)

|x|²-3|x|+2=0

→ (|x|-2)(|x|-1)=0

|x|=2 또는 |x|=1

여기까지는 똑같지만 여기서 절댓값을 이용하여 한번 더 풀이할 수 있죠.

x=±2 또는 x=±1

 

 

혹시 (x) ² = |x|² 이란 사실을 아십니까?

절댓값도 항상 양수로 바꿔주는 장치이지만 제곱 또한 양수로 바꿔주기 때문입니다!!

 

그렇다면 (2x+1)²-3|2x+1|-10=0일 때, x 값을 구하라고 한다면 풀이 할 수 있겠나요?

(2x+1)²=|2x+1|²이므로

|2x+1|²-3|2x+1|-10=0 라고 바꿔주면 풀기 편하지요. 굳이 치환을 안 해도 됩니다만, 이번에는 치환을 이용해서 풀어볼게요.

|2x+1| = t (t≥0) (절댓값의 결과는 항상 양수이기 때문에 생긴 범위!)

t²-3t-10=0

(t-5)(t+2)=0

t=5 또는 t=-2인데

t≥0이므로

t=5라는 조건만 만족합니다.

t=|2x+1|이므로

|2x+1|=5

∴ 2x+1=±5

2x=4또는 2x=-6

∴ x=2 또는 x=-3

 

 

 

 

● 절댓값 부등식

|x|>3이라는 부등식이 있다면 절댓값을 어떻게 벗겨내야 할까요?

x의 절댓값이 3보다 크다는 이야기는 x라는 수는 절대적인 크기가 3보다 큰 수인 4라던가 6이라던가 10이라던가, -5라던가 -10이라던가.. 등등 부호를 무시하고 절대적인 값이 3보다 크다는 것을 의미합니다.

수직선에서 표현하면 아래와 같지요.

즉, |x|>3이라는 것은 x<-3, 또는, x>3라고 바꿀 수 있습니다. (큰 것보다 크고, 작은 것보다 작다고 외우면 쉽소!!)

 

반대로 |x|<3이라는 것은 -3<x<3이라고 바꿀 수 있지요

수직선에서는 아래와 같겠지요?

 

 

 

이것은 2차부등식의 풀이와 매우 비슷하므로 외우기가 편할겁니다!!

 

 

만약 |2x-1|>3라고 문제가 나온다면 부등호를 등호로 바꿔준 식의 근을 구한 후에 그 근을 기준으로 부등호로 처리해주시면 됩니다.

|2x-1|=3의 근은 x=2 또는 -1이므로

|2x-1|>3은

x>2 또는 x<-1 (큰것보다 크고, 작은것보다 작다)라고 할 수 있겠지요.

[출처] 제13장 절댓값 - (2) 절댓값 방정식, 부등식|작성자 SperoSpera