(1)집합의 기본
1. 집합의 뜻
집합은 어떤 규칙이나 조건에 따른 어떤 요소들의 모임을 의미합니다. 그리고, 집합에 포함된 각각의 요소를 그 집합의 '원소'라고 일컫지요.
ex) 자연수의 집합 = 1, 2, 3, 4 ····
한국 축구 선수의 집합 = 박주영, 이청용, 기성용, 이동국 ··· 등
→ 박주영은 한국 축구 선수의 집합의 요소이다.
양수이면서 짝수인 집합 = 2, 4, 6, 8, 10, ···
2. 집합의 표기
집합은 원래에는 중괄호를 사용하여 그 집합의 원소에 씌워서 표현하기로 정했었습니다.
ex) {a, b, c, d} → a, b, c, d를 원소로 가지고 있는 집합
{검은거북, 흰거북, 노란거북, 빨간거북, 파란거북} → 검은거북, 흰거북, 노란거북, 빨간거북, 파란거북을 원소로 가지고 있는 집합
그래서 A={a, b, c} 이런식으로 처음에 집합을 알파벳 대문자로 이름을 지어놓고서 다음부터 A={a, b, c}를 칭할때는 그냥 A라고만 칭해도 사용이 가능해지죠.
ex)
A={a, b, c}
B={1, 2, 3}
# 참고 - 집합의 표현
ㄱ. 원소나열법 : 중괄호에 원소를 전부 나열하는 방법(위에서 방금 배운것)
ㄴ. 조건제시법 : 중괄호에 집합에 포함되는 조건을 제시한다. 방법은 아래와 같다. (가운대 칸막이 같은 존재는 bar(막대기)이며 "바"라고 읽는다.)
← 조건제시법ex) {x|x=홀수} → 집합의 대상은 x인데 x는 홀수이므로 집합의 대상은 홀수
{x|x는 5이하의 자연수} → 집합의 대상은 x인데 x는 5이하의 자연수이므로 집합의 대상은 5이하의 자연수
ㄷ. 벤다이어그램 : 원소와 집합을 그림으로 표현하는 법으로 벤이라는 사람이 고안
3. 집합과 원소의 포함관계
집합 A = {a, b, c, d}라고 할 때, 원소 a는 집합 A에 포함된다고 말할 수 있으며, a는 집합 A의 원소이다라고도 말할 수 있지요.
이것을 수식으로 A∋a라고 표시합니다.
주의할 것은 이 원소와 집합의 포함관계를 나타내주는 기호인 ∋, ∈는 둥근부분에는 원소가 와야하고 뾰족한 부분에는 집합이 와야한다는 거에요.
원소∈집합 // 집합∋원소 이렇게요... (a∋A이런 식으로는 사용이 불가능하고, A∋B 이런식으로 집합끼리도 사용이 불가능합니다.)
왜일까요. ∋, ∈는 집합과 원소의 포함관계를 나타내는 것이기 때문이에요.
그런데 부등호 ＜ 도 더 큰쪽에 입을 벌리고 있잖아요? ∋, ∈이것도 그거랑 똑같다고 보시면 되요. 큰범위(집합)쪽으로 입을 벌리고 있다고 생각하면 되죠.
4. 집합과 집합의 포함관계(부분집합)
집합 A = {a, b, c, d}, B = {a, b}라고 한다고 할 때, 잘 보시면 B의 원소들은 다 A의 원소에 속해있네요?
이것을 우리는 집합A는 집합B를 포함한다, 또는, 집합B는 집합A에 포함된다고 말하고,
집합B를 집합A의 부분집합이라고도 합니다. 수식으로는 A⊃B라고 표시하죠. (큰쪽의 범위에 입을 벌리고 있다고 생각하면 쉽죠)
ex) B⊃C → 해석 : 집합B는 집합C를 포함한다. 또는 집합C는 집합B에 포함된다. (집합C는 집합B의 부분집합이다.)
이해가시죠? ^^
그런데 주의할 것은요. 기호 ⊃, ⊂는 집합과 집합사이의 포함관계를 나타내는 기호라는 겁니다.
그렇기 때문에 B⊂A는 가능하지만, a⊂A이런 식은 사용 불가능 하다는 거죠.
주의해주시고요.
그런데 재밌는건, {a}⊂A 이런식으로는 가능하거든요. 왠지 아시죠?
왜냐하면 아까 집합은 중괄호를 사용해서 나타낸다고 했잖아요!! ex) {a, b, c} → a, b, c를 포함하고 있는 집합을 의미
그러므로 {a}라던가 {a, b}는 원소를 뜻하는게 아니라 각 원소를 포함하고 있는 집합을 의미하기에
{a, b}⊂A, {a}⊂A 이런 느낌으로 사용이 가능하다는 거지요.
5. 교집합
교집합이란 2개 이상인 여러집합에 포함되는 원소들의 집합을 뜻하는데 예를 들어, A={밤, 라크, 쿤} B={아낙, 밤, 유리}라는 집합이 있다면
A와 B의 교집합은 A에도 들어있고, B에도 들어있는 '밤'의 집합인 {밤}이 A와 B의 교집합이 됩니다.
교집합을 기호로 ∩으로 표시하기 때문에 A와 B의 교집합은 A∩B라고 표시하면 됩니다.
아래의 밴다이어그램을 참고해주시면 확실히 이해가 가실겁니다!
6. 합집합
합집합은 집합과 집합사이의 "합"을 뜻해요. 그러니까 집합끼리 더하는것을 의미하죠. 합집합의 기호는 ∪ 입니다.
ex) 집합 A와 집합 B의 합집합 → A∪B
"합집합을 집합사이에 더하는 것이라고 말했는데 더하는게 무슨의미인가요?"라고 말하실것 같아서 설명 해드릴게요.
만약 A={a, b, c, d}, B={c, d, e}라고 정의할 때, A∪B라고한다면 A와 B의 원소를 전부 합쳐서 {a, b, c, d, e}라고 하면 됩니다.
아래 그림을 보면 잘 이해가 될테지요!
7. 차집합
차집합의 기호는 －(마이너스)를 사용하고요. 일반적으로 사용하는 (－)빼기의 개념과 거의 같습니다.
예를 들어, A 차집합 B는 A－B라고 표현할 수 있고요. A={a, b, c}, B={c, d}이라면 A-B란 A집합에서 B집합을 뺀 것으로
A의 모든 원소에서 B의 모든 원소를 빼고 남은 A의 원소를 A-B라고 합니다.
아래 밴다이어그램을 보면 잘 이해가 갈 겁니다.
8. 여집합
여집합은 그 집합을 부정했을 때의 집합입니다.
무슨 소리냐하면 만약 A라는 집합이 자전거를 탈 수 있는 사람들의 집합이라면, A의 여집합은 자전거를 탈 수 없는 사람들의 집합이라는 뜻입니다.
수식으로 설명할게요. 만약, 세상에 a, b, c, d, e, f라는 여섯사람밖에 없다고 하고, 집합 {a, b, c, d, e, f}를 전체집합이라고 한다고 해봐요.
A={a, b, c}라고 한다면 A의 여집합은 A를 부정한 "A가 아닌 사람"이니까 A의 여집합은{d, e, f}가 됩니다. 무슨 말인지 알겠죠?
원래의 집합에 여집합을 보충하면 전체가 된다는 의미로 여집합의 기호는 Complement의 앞자를 따와 C라고 표시하는데 C를 지수에다가 써주어야 합니다.
벤다이어그램으로 여집합을 살펴보자 ^^ (A를 제외한 모든부분이 A의 여집합)
(2) 집합의 활용
1. 합집합과 교집합
경우의 수에서 비슷한 개념이 많이 나오는데요.
합집합은 '또는', 교집합 '그리고, 동시에'라는 말과 맥을 같이 합니다.
무슨말이냐면
"자연수 a는 집합 A에 속하거나, 또는, 집합 B에 속한다."는 자연수 a가 A에 속해도 되고, B에 속해도 된다는 뜻이므로 A∪B(합집합)이라는 뜻이고,
"자연수 b는 집합 A에 속하고, 그리고(동시에) 집합 B에도 속한다."라고 한다면 자연수 b는 무조건 집합 A, B에 모두 속해있어야 한다는 뜻이므로
A∩B가 된다는 뜻입니다.
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or(또는, ~거나) = 합집합
and(그리고, 동시에, ~고) = 교집합
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또한 수학에서는 "또는"이 이란 "둘 중 하나"란 뜻도 되지만 "둘 중 하나이거나 두개 다 이거나"가 되니까 주의하시길 바랄게요.(별로 중요한건 아니에요)
예를 들어, (A-1)(B-2)=0 이면 A=1 또는 B=2라고 우리가 풀이하는데
여기서 A=1 또는 B=2라는 소리는 A=1이나 B=2 둘 중 무조건 하나만 성립해야한다가 아니라 두개의 경우가 모두 성립해도 된다는 의미입니다.
밴다이어그램으로 마지막으로 한번더 설명해드리면
A 또는 B (= A∪B)는 A에 속한 원소도 포함되고, B에 속한 원소도 포함되고, A, B에 동시에 속한 A∩B의 원소도 A∪B에 속한다는 소리입니다.
위의 그림을 보면서 설명할게요.
여기서 A∪B에는 A에 속한 a, b도 포함되고, B에 속한 d도 포함되고, A, B에 모두 속해있는 c, d도 A∪B에 속한다는 소리입니다!
이해가시죠?
2. 차집합
A-B와 B-A를 생각해볼텐데요.
A-B는 A부분에서 B부분을 빼는것이므로 순수한 A만 남습니다. "순수한A"가 공식 용어는 아니랍니다. :]
B-A는 B부분에서 A부분을 빼는 것이므로 순수한 B만 남습니다. 아래의 벤다이어그램을 확인해주시면 되죠.
그런데 차집합은 언제나 교집합으로 바꿀 수 있어요.
외우실 때는 차집합이 교집합으로 바뀌면 뒤에있는 것에 여집합을 붙인다고 기억하면 됩니다.
반대로, 교집합도 차집합으로 바꿀 수 있는데 방법은 같아요. 교집합이 차집합으로 바뀌면 뒤에있는 집합을 여집합처리하고 교집합을 차집합으로 바꾸면 됩니다.
왜 이런 수식이 성립하는지는 직접 전체집합과 그에 속해있는 A, B의 집합을 그려보시면 이해가실겁니다.
수식은 양 변을 다 벤다이어그램으로 그려봐서 맞는지는 직접 확인하는 것이 공부에 더 도움이 많이 될겁니다. 직접 그려보세요!
3. 합집합
A와 B의 합집합을 생각해 볼게요.
아래와 같겠지요?
그런데 잘 보면 A∪B는 순수한 A와 순수한 B와 A∩B로 총 3부분으로 나눠진다는 것을 아실겁니다.
즉, A∪B = (A-B)∪(B-A)∪(A∩B) → A와 B의 합집합은 순수한A(A-B)와 순수한B(B-A)와 A와 B의 교집합(A∪B)을 더한것과 같죠.
아래의 어려워보이는 집합을 간단히 해볼까요?(위의 집합을 보면서 해봐요)
{(A-B)∩(A∪B)}∪{(B-A)∪(A∩B)}
1. 먼저(A-B)∩(A∪B)를 생각해 볼까요
(A-B)는 순수한 A이죠
(A∪B)는 A합집합B입니다.
이 둘의 교집합은 순수한 A죠?
2. 두번째로 (B-A)∪(A∩B)를 볼까요.
(B-A)는 순수한 B입니다.
(A∩B)는 A와 B의 교집합입니다.
이 둘의 합집합은 B죠?
그러므로 {(A-B)∩(A∪B)}∪{(B-A)∪(A∩B)}는 (A-B)∪B라고 바꿀 수 있는데요.
순수한 A(=A-B)와 B를 합집합하면 A∪B가 되네요.
4. 여집합의 활용
ⓐ 여집합의 여집합은 그대로
ⓑ '또는'을 부정하면 '그리고', '그리고'를 부정하면 '또는' ＝ 합집합을 부정하면 교집합, 교집합을 부정하면 합집합 = ∪의 부정은 ∩, ∩의 부정은 ∪
ⓒ 드모르강의 법칙 : 전체부정은 각각 부정
반대의 과정도 똑같이 각각 부정하는 것이니 주의해서 하자.
수능을 보기위해서 알아야할것만 정리
1. 교집합
2. 합집합
2.차집합
4. 여집합
4. 차집합
5. 합집합 분석
6. 드모르강의 법칙
[출처] 15장 - 집합과 명제(1)|작성자 SperoSpera