명제와 조건 (1) 명제 명제 : 객관적으로 명확하게 참과 거짓으로 구분 할 수 있는 문장 예를 들어, "사과는 맛이있다."라는 문장은 어떤 사람의 주관적인 생각으로 명제가 아닙니다. 반면 "3은 홀수이다."라는 문장은 논리적, 객관적으로 옳은말인지 틀린말인지 확실히 구별할 수 있는 문장이므로 명제라고 할 수 있지요. 질문을 해볼게요. "1+3=2"라는 계산이 명제일까 아니면 명제가 아닐까요? 명제가 맞습니다. 단지, 거짓인 명제일 뿐이지요 ^^ 참과 거짓을 구별할 수 있다면 그건 명제라고 했잖아요? 그러므로 1+3=2이 거짓이라고 해도 명제라고 한답니다. 참/거짓을 구별이 가능하면 그것은 명제이고, 참/거짓을 구별할 수 없어야 명제가 아니라는 것을 명심하시길 바랄게요.
(2) 조건과 진리집합 1. 조건 "사람이다." 이 문장이 참인가요. 아닌가요? 질문을 달리해볼게요 "x는 자연수이다."라는 문장은 참일까요? 아닐까요? x에 따라 참이 될 수도 있고, 거짓이 될 수 있죠? 이렇게 x에 따라 참/거짓이 나뉘는 문장을 조건이라고 하며, 그 조건을 참이되게하는 x들의 집합을 '진리집합'이라고 합니다. 조건을 주로 알파벳 소문자(주로 p, q, r, s)를 쓰고 그의 진리집합을 해당 알파벳의 대문자(주로 P, Q, R, S)로 사용한다.
예를 들어볼게요. p: x는 자연수이다. p를 참이되게하는 진리집합 P={1, 2, 3, 4, ...}
2. 조건과 명제 조건이 2개가 존재하면 참 거짓을 구별할 수 있는 명제가 됩니다. 무슨 소리냐면 조건 2개를 p, q라고 할 때, "p이면 q이다." 또는 "q이면 p이다." 이런식으로 명제를 만들 수 있다는 소리입니다. 예를 들어, 조건 p, q가 아래와 같을 때, p:x는 6의 배수이다, q:x는 짝수이다. p이면 q이다. = 6의 배수라면 짝수이다. (참인명제) q이면 p이다. = 짝수라면 6의 배수이다.(거짓명제) 단, '~이면 ~이다."는 '~는 ~이다'라고도 바꿀 수 있다. ex) 6의 배수라면 짝수이다. → 6의 배수는 짝수이다.
3. 명제의 표현 "p이면 q이다."를 화살표로 표시하여 "p → q"라고 표시합니다 예를 들어, 조건 p, q가 아래와 같을 때, p:x는자연수 q:x는 양수 x가 자연수면, x는 양수이다. (참인 명제)를 p→q 라고 표현한다는 소리입니다.
그런데 명제 p→q가 참이라면 그것을 기호로 p⇒q라고 표현하기도 합니다. 명제 p, q와 그의 진리집합 P, Q에 대하여, p⇒q이라면 P⊂Q가 항상 성립하게 됩니다. 예를 들어, p가 4의 배수, q가 짝수라고 한다면 p의 진리집합 P는 {4, 8, 12, 16, 20, ···· } Q의 진리집합 Q는 {2, 4, 6, 8 , 10, ···· }인데 p⇒q(4의 배수는 짝수이다는 참이다.)이므로 P⊂Q(4의 배수는 짝수에 포함된다)가 항상 성립한다. 반대로 P⊂Q이면 p⇒q도 항상 성립합니다. 또한 P-Q=공집합(
 )이랍니다.
(3) 명제를 부정하는 법 먼저 명제를 부정하는 법을 배워야 합니다. 일단 "대한민국의 남자는 군대에 간다."을 한번 부정해보도록 할텐데요. 일단 아무 이유 없지만 일단한번 이 명제의 참/거짓을 구별해보겠습니다. 대한민국 남자인데도 군대에 안가는 사람이 존재하죠? 그러므로 거짓입니다.(명제에 반하는 예가 하나라도 있다면 그 명제는 거짓!!)
어쨌든 "대한민국의 남자는 군대에 간다."를 한번 부정해보세요! 어떤 사람은 단어 한자 한자를 다 부정하려고 해요.. 대한민국의 반대는 뭘까? 북한!? 남자의 반대는 여자! 군대의 반대는 사회! 간다의 반대는 왔다. → 북한 여자는 사회에 온다. (X) 당연히 아니겠죠? ㅋㅋ 부정은요 서술어와 몇몇의 꾸며주는 말(관형어, 부사어라고 하죠..)만 부정하면 되요. 예를 들어, 서술어인 "간다"를 "가지 않는다"로 바꿔서 (온다 아니어요 ㅋㅋ) → 대한민국 남자는 군대에 가지 않는다. 라고 바꾸면 되요. 다만, '모든'의 부정은 '어떤'이고, '또는'의 부정은 '그리고'인것을 주의해야 해요. "대한민국의 남자는 군대에 간다."의 의미를 잘 생각해보면 "대한민국의 모든 남자는 군대에 간다."의 의미죠? 따라서 가장 옳바른 부정은 → "대한민국의 어떤 남자는 군대에 가지 않는다." 입니다.
왜 '모든'의 부정이 '어떤'일까요? 어떤 명제의 부정명제란 반댓말이 아니라 그 명제가 거짓이 되게하는 명제를 의미하는 것입니다. 예를 들어, "모든 사람은 군대에 간다"가 거짓이 되려면 적어도 1사람만 군대에 가지 않아도 모든 사람이 군대에 가는 것은 거짓이 됩니다. 그러므로 적어도 1사람을 "어떤"이라는 말로 표현해서 "어떤 사람은 군대에 가지 않는다"가 부정이 되는겁니다. 반대로 '어떤'을 부정하면 '모든'이 됩니다. 예를 들면, "어떤 사람은 1000살이 되어도 죽지 않는다."의 부정은 모든 사람이 1000살 이전에 죽는다는 것을 보이면 되겠죠? 이를테면 모든 사람이 100살에 죽는다는 것은 한사람도 1000살이상동안 사는 사람이 없다는 것이잖아요!
부정을 ~라는 기호로 약속이 되어있습니다. 예를 들어, 명제 p의 부정은 ~p라고 씁니다.
# 기타 수식의 부정 ＜의 부정은 ≥ ≤의 부정은 ＞ ＝의 부정은 ≠ '또는'의 부정 '그리고' '그리고'의 부정 '또는'
주의 ⓐ 조건 p가 a=b=c라면 이 조건의 부정 ~p는 a≠b 또는 b≠c (또는 c≠a)가 된다. 왜냐하면 a=b=c는 a=b 그리고, b=c라는 의미이기 때문이다. ⓑ 조건 q가 a<b<c라면 이 조건의 부정 ~q는 a≥b 또는 b≥c이다. 왜냐하면 a<b<c이라는 소리는 a<b 그리고 b<c라는 소리이기 때문이다.
(4) 명제의 역, 이, 대우 명제가 p→q라면 역이란 q→p을 뜻하고 이는 ~p→~q를 뜻하고 대우는 ~q→~p를 뜻합니다. ⓐ 명제가 참이라면 명제의 대우도 참이고, 명제가 거짓이라면 명제의 대우도 항상 거짓이다. ⓑ 명제의 대우가 참이라면 그 명제도 참이고, 그 대우가 거짓이라면 명제도 거짓이다. ⓒ 명제의 역이 참이라면 명제의 이 또한 참이되고, 그 역이 거짓이라면 이 또한 거짓이다. ( 이것을 진리값이 서로 일치한다라고 한다. ) → 명제와 대우 // 역과 이는 서로 진리값이 일치한다. ⓓ 어떤 명제가 참이어도 그 명제의 역과 이는 거짓일 수도 있고 참일 수도 있다. ( 명제의 참/거짓과 역과 이의 참/거짓은 관련이 없다. )
(5) 충분조건과 필요조건 충분조건과 필요조건은 조건과 조건사이의 관계가 어떠한지 알려주는 것입니다. 만약 조건 p, q가 있다면 참인명제 p⇒q는 "p는 q이기 위한 충분조건"라고 하며 "q는 p이기위한 필요조건"이라고 하는 것입니다. 만약 p←q이라는 명제가 참인 명제라면 "p는 q이기 위한 필요조건"이라고 하며 "q는 p이기위한 충분조건"이라고 하죠.
무슨 소린가 싶죠? ㅋㅜㅜ 예를 들어, "서울 시민은 대한민국 국민이다"라는 명제가 있다면 이 명제는 "서울시민 → 대한민국 국민"으로 참인 명제이므로 서울시민은 대한민국 국민이기위한 충분조건이고 대한민국 국민은 서울시민이기 위한 필요조건이라고 하는겁니다. 쉽게 말해 일단 참의 화살이 →인지 ←인지 파악해서 범위가 좁은 쪽에서 범위가 넓은쪽으로 가면 충분조건이고, 범위가 넓은쪽에서 좁은 쪽으로 가면 필요조건이라고 하는거에요. 좁은 집 살다가 넓은집으로 이사가면 공간이 충분하잖아요? 반대로 넓은집 살다가 좁은집으로 이사가면 공간이 더 필요하잖아요? ㅜ
즉, 서울은 대한민국보다 좁잖아요? 그러므로 서울시민 → 대한민국국민 이라면 좁은 곳에서 넓은 곳으로 가니까 서울시민은 대한민국국민이기 위한 충분조건이라고 하는거에요. 반대로 대한민국 국미은 서울시민이기위한 필요조건이고요.
또, 필요충분조건이란 것도 있습니다. 이것은 둘 다 완전히 똑같은 것을 의미해요. 만약 "1+2는 3이다"라는 명제가 있다면 1+2와 3은 완전히 똑같다고 할 수 있으므로, 1+2는 3이기 위한 필요충분조건 (또는 3은 1+2이기위한 필요충분조건)이라고 할 수 잇는겨죠
좀 복잡한가요? 복잡하면 다른풀이 알려드릴게요. p 와 q라는 명제가 있다고 해봐요
p q가 p → q로 정방향이 참이면 충분조건!! p q가 p → q역방향이 참인것이 필요조건!! 양방향이 다 참이면 필요충분조건!!
정리 1. 명제 : 참과 거짓을 구별할 수 있는 문장
2. 조건 : 집합 A의 원소를 x라고 할 때, x에 따라 어떤 문장 p를 참과 거짓을 판단 할 수 있는 문장(=x에 따라 참, 거짓이 구별되는 문장) → 명제는 2개의 조건으로 이루어진다.
3. 진리집합 : 문장 p를 참이되게 하는 것들의 집합
4. p이면 q이다. = p→q
5. p이면 q이다.(참) = p⇒q
6. p⇒q이면 각각의 진리집합은 P⊂Q
7. 부정 : 서술어를 부정한다. 부정을 "~"(물결모양기호..)로 표시한다. ~어떤=모든 ~모든=어떤 ~＜ = ≥ ~≤ = ＞ ~＝ = ≠ 주의 p : a=b=c 이라면 ~p : a≠b 또는 b≠c
q : a<b<c 이라면 ~q : a≥b 또는 b≥c
8. 명제가 p→q라면 역은 q→p 이는 ~p→~q 대우는 ~q→~p
9. p q가 p → q로 정방향이 참이면 충분조건!! p q가 p → q역방향이 참인것이 필요조건!! 양방향이 다 참이면 필요충분조건!!
또는
좁은 쪽에서 넓은 쪽으로 가면 충분조건 넓은 족에서 넓은 쪽으로 가면 필요조건 어떤 것에서 똑같은 것으로 가면 필요충분조건 [출처] 15장 - 집합과 명제(2)|작성자 SperoSpera
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