집합의 용어

집합의 용어

ㄱ. 교집합

교집합은 2개 이상인 여러집합에 동시에 포함되는 원소들로 이루어진 집합을 의미합니다.

쉽게말해, 여러가지에 공통적으로 속하는 원소들의 집합을  교집합이라고 한답니다.

예를 들어, A는 아침마다 신문을 배달시켜 보고있는 사람들의 집합이라고 하고, B는 인터넷으로 신문을 읽는 사람들의 집합이라고 한다면

A와 B의 교집합은 아침마다 신문을 배탈시켜 보고 있는 동시에 인터넷으로도 신문을 읽는 사람들의 집합이라고 할 수 있습니다.

또, A와 B의 교집합을 집합 A, B의 공통부분이라고도 합니다.

이런 교집합을 기호로 ∩이라고 표시하여 A와 B의 교집합을 A∩B라고 표시합니다.

 

아래의 밴다이어그램을 참고하여 이해하시면 됩니다.

 

 

ㄴ. 합집합

합집합은 말 그대로 집합의 합(合, sum)을 뜻합니다. 예를들어, 집합A와 집합B의 합집합은 A와 B의 원소들을 모두 합쳐놓은 집합을 합집합이라고 하지요.

합집합의 기호는 교집합을 뒤집은 모양인 ∪를 사용합니다. A와 B의 합집합은 A∪B라고 표현하지요.

예를 들어, 집합 A의 원소가 a, b, c, d가 있고 집합B의 원소가 c, d, e가 있다면 A와 B의 합집합은 모두 합쳐 {a, b, c, d, e}가 되지요.

 

 

 

ㄷ. 차집합

차집합은.. 말 그대로 집합의 차(差, 빼기)를 의미합니다.

그게 무슨소리냐면 예를 들어,  A 차집합 B는 A의 원소중에서 B에 속한 원소를 빼주는 것입니다.

쉽게 말해 A에서 B와 겹치는 부분을 뺀것이 A 차집합 B입니다.

그리고 차집합의 기호는 －를 사용합니다.

A 차집합 B는 A-B 이렇게 표현하고 말할 때는 A에대한 B의 차집합 또는 그냥 A차집합B라고 읽습니다.

 

 

 

 

 

 

 

ㄹ. 여집합

A의 여집합이라는 것은

전체에서 A를 제외한 집합을 의미합니다.

즉, 여집합은 그 집합을 제외한 나머지 모든 부분을 의미하는 것이죠.

여집합의 기호는 c를 오른쪽 위에 씁니다.

 

 

 → A의 여집합(분홍색 부분)

 

 

 

 

 

ㅁ. 공집합

공집합은 원소가 아무것도 없는 집합을 말합니다.

아무것도 없는 집합이기에 공집합은 모든 집합의 부분집합이라고 할 수 있죠.

공집합은 0에 대각선을 그린기호인 ø를 사용합니다. 아니면 그냥 원소가 아무것도 없기에 { } 이렇게도 표현합니다.

 

 

 

    5. 집합의 활용

ㄱ. 합집합, 교집합과 '또는/그리고'

 

경우의 수에서 비슷한 개념이 많이 나오는데요.

합집합은 '또는',

교집합은 '그리고, 동시에'라는 말과 맥을 같이 합니다.

무슨말이냐면

​

어떤 임의의 자연수 a와 b가 있다고 하자.

자연수 a는 집합 A에 속하거나, 또는, 집합 B에 속한다면, 자연수 a가 A에 속해도 되고, B에 속해도 된다는 뜻이므로

a는 A∪B(합집합)에 속하는 자연수라는 뜻이고,

​

자연수 b는 집합 A에 속하고, 그리고(동시에) 집합 B에도 속한다면 b는 무조건 집합 A, B 동시에 속해있어야 한다는 뜻이므로

b는 A∩B(교집합)에 속한다는 뜻입니다.

 

 

또한 수학에서 A 또는 B란

A와 B 둘 중 하나라는 의미보다는 A와 B 둘 중 하나이거나 두 개 다 라는 의미라는 사실을 아셔야합니다. 

예를 들어, (A-1)(B-2)=0 이면 A=1 또는 B=2라고 우리가 풀이하는데

여기서 A=1 또는 B=2라는 소리는 A=1와 B=2가 둘 중 무조건 하나만 성립해야한다 뿐만아니라 A=1가 성립, 그리고 동시에 B=2도 성립해도 된다는 의미입니다.

​​

 

​

 

ㄴ. 차집합

차집합을 좀 더 실용적으로 살펴볼게요. 

만약 A-B라는 차집합이 이라는 것은

A의 원소중에서 B와의 공통부분을 빼주는 것입니다.. 즉, A에서 A와 B의 교집합을 빼준것을 A-B(A차집합B)라고 할 수 있습니다.

저는 이 A-B라는 것을 순수한 A라고 표현하고 싶네요.

A에서 B와 겹치는 부분을 뺐기때문에 A-B는 결국 순수한A의 부분만 남으니까요.

 

반대로 B-A라는 것은 간단히 말해 B에서 A를 뺀것이므로 순수한 B라고 보시면 되겠지요.

 

그리고 차집합은 언제나 교집합의 관계로 바꿀 수 있는데요.

 처럼 차집합 기호 뒤에 있는 집합에 여집합을 붙여주면 교집합으로 바꿔 줄 수 있습니다.

마찬가지 반대로 교집합기호 뒤에 있는 집합을 여집합으로 바꿔주면 차집합으로 바꿔줄 수 있는것이지요.

 

따라서 순수한 A와 순수한 B는 아래와 같이 표현이 가능합니다.

 

 

ㄷ. 합집합의 분해

A와 B의 합집합이라는 것은

순수한A    +    A와B의 교집합    +  순수한 B 라고 표현 할 수 있습니다.

벤다이어그램으로 보면 아래와 같이 쓸 수 있지요.

 

 

 

예제 1 ) {(A-B)∩(A∪B)}∪{(B-A)∪(A∩B)}를 간단히 나타내어라.

​[풀이]

먼저(A-B)∩(A∪B)를 생각해 볼까요

(A-B)는 순수한 A이죠

(A∪B)는 A합집합B입니다.

이 둘의 교집합은 순수한 A죠?

다음으로 (B-A)∪(A∩B)를 볼까요.

(B-A)는 순수한 B입니다.

(A∩B)는 A와 B의 교집합입니다.

이 둘의 합집합은 B죠?

그러므로 {(A-B)∩(A∪B)}∪{(B-A)∪(A∩B)}는 (A-B)∪B라고 바꿀 수 있는데요.

순수한 A와 B를 합집합하면 A∪B가 되네요.

​

ㄹ. 여집합

  ⓐ 여집합의 여집합은 자기자신

A의 여집합의 여집합은 A 자기자신입니다.

 

  ⓑ 드모르강의 법칙 : 전체의 여집합은 각각 여집합

반대로 각각의 여집합은 전체의 여집합

[출처] 제1장 집합과 명제Ⅰ - (1) 집합 2/2|작성자 SperoSpera