곱셈공식과 이중근호

곱셈공식과 식변형 공식  

ㄱ. 곱셈공식

 

전개할줄 아시죠? 하나하나 전개하셔도 아주 크게 지장이 생기는건 아닌데요.

수능은 제한시간이 있잖아요? 아무것도 모르면 시간이 아주 많이 남겠지만, 풀 수 있는게 많으면 보통 시간이 모자를 수 있습니다.

실수 없이 쉽고 빠르게 문제를 풀기 위해서 이런 기본적인 공식은 확실히 암기하셔야 합니다.

 

 

※ 참고

#

항 : 만약 2a+2ab-3xy-1라는 식이 있다면 2a, 2ab, 3xy, -1 각각을 항이라고 부른다.

단항식 : 한 개의 항으로만 이루어진 식

예) 3x , abc , x²y²z² , 5(xyz)³  등 단, (x+2)³는 전개하면 여러가지 항이 존재하므로 단항식이 아니다.

 다항식 : 두 개 이상의 항으로 이루어진 식이다.

예) x+y, a-b+c-d, a²x-2y, (x+y)², 등

 

 

 

ㄴ. 식변형 공식 4가지

  ⓐ (a+b)²-(a-b)² = 4ab

​→ 합의 제곱에서 차의 제곱을 빼면 4배곱

​  ⓑ a²+b² = (a+b)²-2ab​

​→ 제곱의 합은 합의 제곱 마이너스 두배곱

  ⓒ ​a³+b³ = (a+b)³-3ab(a+b)

 

→ 세제곱의 합은 합의 세제곱 마이너스 세배합곱
  ⓓ a²+b²+c² = (a+b+c)²-2(ab+bc+ca)

 

→ 세항의 제곱의 합은 합의제곱 마이너스 두배둘

 

 

​

 

예제1)

x+y=5, xy=4일 때, x-y를 구하시오. (단, x〉y)

[풀이]

합, 차, 곱에 관련된 공식은

합의 제곱에서 차의제곱을 빼면 4배곱이므로

25-(x-y)²=16

정리하면

(x-y)²=9

따라서 x-y= ±3

그런데 문제의 조건에서  x〉y라고 했으므로 x-y=3이다.

답 = 3

 

 

 

예제2)

a+b=5, ab=3 일 때, a⁴+b⁴을 구하시오.

[풀이]

a²+b²을 구한후 a⁴+b⁴구하자.

a²+b²는 제곱의 합공식이므로 합의제곱-2배곱이다.

a²+b²=25-6=19

이제 a⁴+b⁴를 구하자. 이것도 제곱의 합공식 맞죠? 제곱의 합을 (a²)²+(b²)²라고 보고 합을a²+b²라고 생각하고 곱을 a²b²이라고 보면 되잖아요~

무슨이야긴지 아시나요? a, b에 관하여 a+b와 ab를 합과 곱이라고 하지 않고, a²와 b²에 관하여 합과 곱을 a²+b², a²b²라고 생각하면 되다는 소리입니다.

즉, 제곱의 합은 = (a²+b²)² - 2a²b²인데 a²b²는 (ab)²으로 바꿀 수 있으므로

a⁴+b⁴ = (19)² - 2·(3)² = 361 - 18 = 343

답 = 343

 

 

 

 

ㄷ. 이중근호

이중근호는 많이 들어 보셨죠?

근호란 흔히말하는 루트기호를 의미해요 

이중근호란 근호안에 근호가 있는 식인데

 와 같은 것을 이중근호라고 말하는데요. 물론 이중근호도 간단히 구할 수 있지만

  같이 근호안에 +나 -로 연결되어있는 형태의 이중근호는 간단히 바꿀 수 있어요..

 

어떻게 바꾸냐면

이 공식을 활용하면 바꿀 수 있지요. 많이 보셨던 분도 있을 겁니다.

 

그런데 더 중요한것은 바꾸는 원리이거든요.

왜 이 공식이 나온지 아는사람 있나요? 많이 없을 겁니다.

 

이 공식은 완전제곱식에서 나온 공식입니다.

 라면

각가 루트 씌운  둘 중 누가 더 클까요?

가 더 크죠?

그러므로 는 양수일 겁니다. (큰 값에 작은 값 뺏으므로 양수)

이 라는 양수를 제곱할게요. 제곱하면 완전제곱식이 되므로

양 변에 루트를 씌우면

그런데 b가 양수이므로

즉, 라는 공식이 탄생합니다.

이해가시죠?

 

또, 처음의 의 부호만 바꾸어서 으로 유도한다면

또한 유도가 가능합니다. 

 

 

 

 

​아무튼 이 공식을 활용하여 이중근호를 간단한 형태로 고치는 방법은

 

의 형태와 같이 

① 작은 루트에 2가 곱해져 있어야 하고

② 작은 루트의 숫자가 두 수(a, b)의 곱으로, 큰루트안의 숫자는 숫자의 합(a+b)으로 이루어져야 한다.

간단히 고친 결과는 로 나오게 되는데 중간의 연결부호는 원식의 가운에의 부호가 그대로 간다고 알고 있으면 됩니다.

(단 a가 b보다 더 큰수)

 

 

예제1) 를 간단히 고치시오.

 

[풀이] 먼저 이중근호의 작은 루트에 2가 곱해져 있으므로.. 숫자만 보면 된다.

작은루트 안에 있는 6이 6×1, 3×2라는 두 개의 숫자로 바꿀 수 있는데, 6×1랑 3×2 중에서 숫자의 합은 5가 나와야 하므로

두 숫자가 3과 2인것을 찾을 수 있다.

( 3×2=6, 3+2=5 )

그러므로 원식 안의 부호를 그대로 가져와서 라고 바꿀 수 있다.

 

 

 

 

예제2) 를 간단히 고치시오.

 

[풀이] 작은 루트에 2가 곱해져 있지 않으므로 루트의 성질을 이용해 로 고치면

으로 바꿀 수 있다. 작은 루트의 수는 10×1, 5×2로 바꿀 수 있고, 10×1와 5×2중에서각 숫자의 합이 7이 나와야 하는데 5+2=7이므로 

임을 알 수 있다.

 

 

 

 

근데 여기서 재밌는 사실은

합과 곱의 차이가 1이 나는 꼴, 예컨데  와 같은 꼴을 간단히 고치면 아래처럼 결과에 반드시 1이 나오게 됩니다.

그냥 참고만 해주세요.

 

 

한 문제 더 보실까요.

 (x는 실수)를 간단히 하시오.

​

당황하는 사람도 있을지 모르겠는데

잘 보면 x²+2과 x²+1이 들어있잖아요? 

간단하게 x²+1과 1이라는 숫자를 곱하면 x²+1이고 x²+1과 1이라는 숫자를 더하면 x²+2가 되잖아요!

그러므로

입니다.

 

 

​풀 수 있겠죠?

​

​

​ 

 

다음으로  라는 이중근호를 간단히 고쳐보실래요?

할 수 있나요? 어려울겁니다~ 힌트를 드리자면 작은루트에 2가 나오게 해야 한다는 겁니다.

아시겠나요?

 

 

 

↓

 

 

 

 

해결방법은 바로 분모와 분자에 각각 √2를 곱해주는 겁니다.

이렇게요 

그럼 분모는 그대로 루트2이고 분자는 간단하게 고쳐서 루트3 - 1이 되겠죠!

따라서

입니다.

 

 

 

 

 

ㄹ. 이항분리(부분분수)

이항분리는 통분의 역과정입니다.

 

 

 

이항분리하려면

① 분모가 곱꼴이어야 합니다.

② 분모의 곱꼴이 a×b라고 한다면 분자는 b-a가 와야합니다.(분모의 곱이 "앞×뒤" 라고한다면 뒤-앞=분자가 되어야 한다는 것임)

③ 이항분리의 결과로 a분의1 - b분의1이 나옵니다.

 

예를 들어,

 

 

 

 

 

한번만 더 예를 들어볼까요?

 

 

 

 

※ 참고 - 분모가 세개의 곱일 때의 이항분리

 

 

[출처] 제2강 수와 식 Ι - (2)곱셈공식과 이중근호|작성자 SperoSpera