정수부터 복소수까지의 확장

 (1) 복소수

수의 체계를 먼저 공부해 보도록 하겠습니다.

    ㄱ. 정수

먼저 우리가 현실에서 자연스럽게 많이 쓰는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 21, 311, 513, 926, 17321와 같은 숫자를 자연수 또는 양의 정수라고 합니다.

그리고 -1, -2, -3, -4, -6, -11, -16, -24, -334, -1234 등과 같이 자연수에 마이너스를 붙인 것을 음의 정수라고 합니다.

음의 정수는 자연계에서는 존재하지 않는 개념이지만 사회에서는 빚이나 적자 같은 개념에 많이 쓰입니다.

예를 들어, 통장의 잔액이 -20달러라면 지금 갚아야 할 돈이 20달러가 있다는 소리죠.

그리고 적자도 아니고 이득도 아닌 아무것도 아닌 숫자를 0이라고 합니다.

통장의 잔액이 0원이라면 그 통장에는 돈이 아무것도 없다는 뜻입니다.

 

어쨌든

이렇게 ·····-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5····· 정해진 간격으로 딱딱 떨어지는 숫자를 통틀어 정수라고 합니다. 

 

정수를 수직선 상에 나타내면 아래와 같습니다.

 

 

정수는 즉,  숫자의 간격이 1로 이루어진 숫자의 집합이라고 할 수 있죠.

자연수의 집합을 표현하자면 1부터 시작하여 1씩 커지는 모든 수의 집합이라고 할 수 있고

음의 정수는 -1부터 1씩 작아지는 모든 수의 집합이라고 할 수 있죠.

 

 

정리하자면

정수는

양의 정수인 자연수

음의 정수

그리고 0으로 이루어져 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

    ㄴ. 유리수

그리고 이 정수에  로 나타낼 수 있는 모든 분수까지 합쳐서 유리수라고 부릅니다.

 

물론 유리수의 뜻은 셀 수 있는 수인데

 

 

그 말은 결국 형태의 분수이기만하면 유리수라는 의미입니다.

 

 

 

    ㄷ. 실수

<소수>

소수는 약수가 1과 자기자신밖에 없는 수인 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 등의 수도 의미하지만

아래와 같이 일의 자리보다 낮은 자리값을 가진 일명, 소수점 아래에 숫자가 있는 것입니다.

 

2.1

13.25

115.11101

3.33···

9.99···

42.8571428571428···

3.1415926···

1.414213562···

 

소수에는 유한소수가 있고 무한소수가 있습니다.

유한소수는 예를 들어, 아래와 같이 끝이 있는 소수입니다.. (유한소수는 분수로 바꿀 수 있으므로 유리수이다.)

  유한소수 : 0.1, 0.5, 3.15, 52.1, 92.05 등

 

또, 무한소수는 끝이 없는 소수인데 숫자가 규칙성있게 끝없이 이어지는 순환소수와 규칙성 없이 끝없지 이어지는 순환하지 않는 무한소수가 있습니다.

  예를 들어, 순환소수는

 

0.111···

0.999···

3.030303​···

9.123123123···

 

  순환하지 않는 무한소수의 예는

 

3.141592653589793238······

1.414213562373​······

0.301029995663······

 

 

순환하는 소수는 순환하는 마디의 처음과 끝에 점을 찍어 나타해고 언제나 분수로 바꿀 수 있습니다. 때문에 순환하는 소수는 유리수이지요.

 

 

분수로 바꾸는 방법은

ⓐ 먼저 반복마디를 정리한다.

ⓑ 소숫점 아래의 숫자중 반복마디의 개수대로 분모에 9를 쓰고

ⓒ 반복되지 않는 소숫점 아래의 숫자를 0으로 채웁니다.

ⓓ 그리고 ⓐ에서 정리한 소수에 소수점을 뺍니다.

ⓔ 소수점을 뺀 수에서 반복되지 않는 수를 빼고 분자에 넣습니다.

완성

 

11.0344134413···로 예를 들어보자.

ⓐ 반복마디를 정리하면 이 된다.

ⓑ 소숫점 아래의 숫자중 반복마디의 개수는 3441로 4개이다.

따라서 분모에 9999를 먼저쓰고

ⓒ 반복되지 않는 소숫점 아래의 숫자는 1개이므로 0을 하나 채워 분모를 99990으로 만듭니다.

ⓓ 그리고 소수점을 빼면 1103441가 되는데

ⓔ 반복되지 않는 수인 110을 1103441에서 빼면 1103331이 되고 이것을 분자에 넣습니다.

로 완성!

실제로 1103331 나누기 99990을 하면 원래의 소수가 나오게 됩니다. 신기하죠.

 

 

반면

순환하지 않는 소수는 분수로 바꿀 수 없기에 셀 수 없다고 하여 무리수라고 말합니다.

 

무리수는 대부분 이와 같이 일반적으로는 표현할 수 없어 문자나 기호를 사용해서 사용하는 것이 많습니다.

 

이렇게 유리수와 무리수를 합쳐서 실제 있는 수라고 하여 실수라고 부릅니다.

 

 

 

또,

이 모든 실수는 제곱하면 양수 또는 0이 되는 성질이 있는데

제곱해서 양수가 되지 않는 수가 있습니다.

 

제곱해서 음수가 되던가!

음수도 아니고 양수도 아니고 그렇다고 0도아닌 수가 나오던가!

그런 수를 허수라고 합니다.

 

그리고 실수와 허수를 합쳐 복소수라고 부릅ㄴ다.

 

이것은 나중에 이차함수를 배우고 나서 " 수와 식 Ⅱ " 다시한번 깊게 언급하겠습니다.

 

여기까지 입니다.

 

 

 

[출처] 제2강 수와 식 Ι - (1) 정수부터 복소수까지의 확장|작성자 SperoSpera