곱셈공식과 식변형 공식
ㄱ. 곱셈공식
![%5Cleft(%20a%2Bb%20%5Cright)%20%5E%7B%202%20%7D%3Da%5E%7B%202%20%7D%2B2ab%2Bb%5E%7B%202%20%7D%5C%5C%20%5Cleft(%20a-b%20%5Cright)%20%5E%7B%202%20%7D%3Da%5E%7B%202%20%7D-2ab%2Bb%5E%7B%202%20%7D%5C%5C%20%5Cleft(%20a%2Bb%20%5Cright)%20%5Cleft(%20a-b%20%5Cright)%20%3Da%5E%7B%202%20%7D-b%5E%7B%202%20%7D%5C%5C%20%5Cleft(%20a%2Bb%20%5Cright)%20%5Cleft(%20a%5E%7B%202%20%7D-ab%2Bb%5E%7B%202%20%7D%20%5Cright)%20%3Da%5E%7B%203%20%7D%2Bb%5E%7B%203%20%7D%5C%5C%20%5Cleft(%20a-b%20%5Cright)%20%5Cleft(%20a%5E%7B%202%20%7D%2Bab%2Bb%5E%7B%202%20%7D%20%5Cright)%20%3Da%5E%7B%203%20%7D-b%5E%7B%203%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6et24bgtlsvu.jpg)
단항식 : 한 개의 항으로만 이루어진 식
예) 3x , abc , x2y2z2 , 5(xyz)3 등 단, (x+2)3는 전개하면 여러가지 항이 존재하므로 단항식이 아니다.
다항식 : 두 개 이상의 항으로 이루어진 식이다.
예) x+y, a-b+c-d, a2x-2y, (x+y)2, 등
→ 세제곱의 합은 합의 세제곱 마이너스 세배합곱
ⓓ a²+b²+c² = (a+b+c)²-2(ab+bc+ca)
→ 세항의 제곱의 합은 합의제곱 마이너스 두배둘
예제1)
x+y=5, xy=4일 때, x-y를 구하시오. (단, x〉y)
[풀이]
합, 차, 곱에 관련된 공식은
합의 제곱에서 차의제곱을 빼면 4배곱이므로
25-(x-y)²=16
정리하면
(x-y)²=9
따라서 x-y= ±3
그런데 문제의 조건에서 x〉y라고 했으므로 x-y=3이다.
답 = 3
예제2)
a+b=5, ab=3 일 때, a⁴+b⁴을 구하시오.
[풀이]
a²+b²을 구한후 a⁴+b⁴구하자.
a²+b²는 제곱의 합공식이므로 합의제곱-2배곱이다.
a²+b²=25-6=19
이제 a⁴+b⁴를 구하자. 이것도 제곱의 합공식 맞죠? 제곱의 합을 (a²)²+(b²)²라고 보고 합을a²+b²라고 생각하고 곱을 a²b²이라고 보면 되잖아요~
무슨이야긴지 아시나요? a, b에 관하여 a+b와 ab를 합과 곱이라고 하지 않고, a²와 b²에 관하여 합과 곱을 a²+b², a²b²라고 생각하면 되다는 소리입니다.
즉, 제곱의 합은 = (a²+b²)² - 2a²b²인데 a²b²는 (ab)²으로 바꿀 수 있으므로
a⁴+b⁴ = (19)² - 2·(3)² = 361 - 18 = 343
답 = 343
ㄷ. 이중근호
이중근호는 많이 들어 보셨죠?
![%5Csqrt%20%7B%20%20%7D%5Cquad%20%5Cto%20%5Cquad%20%EA%B7%BC%ED%98%B8%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6g3yxf6h4jbj.jpg)
이중근호란 근호안에 근호가 있는 식인데
![%5Csqrt%20%7B%20%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%20%7D%2C%5Cquad%20%5Csqrt%20%7B%205%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6g5jrpihyxco.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%202-%5Csqrt%20%7B%205%20%7D%20%7D%2C%5Cquad%20%5Csqrt%20%7B%205%2B%5Csqrt%20%7B%2021%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6g8g9d1plrx8.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20a%2Bb-2%5Csqrt%20%7B%20ab%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%5Cquad%20(%EB%8B%A8%2C%5Cquad%20a%3Eb%3E0)%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howde4jjoqh5r0.jpg)
이 공식은 완전제곱식에서 나온 공식입니다.
![a%3Eb%3E0%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howdqan5xd49bb.jpg)
![](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howdqoelnumni6.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howdrlz9ik4lm9.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howdrv2p5w8ald.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howdrv2p5w8ald.jpg)
![%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20%5Cleft(%20%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%20%5Cright)%20%20%7D%3D%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D%20%7D%2B%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%20%7D-2%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%5C%5C%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cquad%20%3D%5Cquad%20a%2Bb-2%5Csqrt%20%7B%20ab%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howdun6my0lpe3.jpg)
양 변에 루트를 씌우면
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%3D%5Cpm%20%5Csqrt%20%7B%20a%2Bb-2%5Csqrt%20%7B%20ab%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6ffpj7r1sb5i.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howdrv2p5w8ald.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%20a%2Bb-2%5Csqrt%20%7B%20ab%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6fg6an27deg1.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20a%2Bb-2%5Csqrt%20%7B%20ab%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6fynhshg9ojw.jpg)
이해가시죠?
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D-%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/7/howdrv2p5w8ald.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D%2B%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2014/8/28/hze71pzfaajqmc.jpg)
또한 유도가 가능합니다.
아무튼 이 공식을 활용하여 이중근호를 간단한 형태로 고치는 방법은
![%5Csqrt%20%7B%20a%2Bb%5Cquad%20%5Cpm%20%5Cquad%202%5Csqrt%20%7B%20ab%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6m61a9ni54mi.jpg)
① 작은 루트에 2가 곱해져 있어야 하고
② 작은 루트의 숫자가 두 수(a, b)의 곱으로, 큰루트안의 숫자는 숫자의 합(a+b)으로 이루어져야 한다.
![%5Csqrt%20%7B%20a%20%7D%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Csqrt%20%7B%20b%20%7D%5Cquad%20(a%3Eb)%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6lwh9vvxlvwp.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%205%2B2%5Csqrt%20%7B%206%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6fc9o81azbtw.jpg)
[풀이] 먼저 이중근호의 작은 루트에 2가 곱해져 있으므로.. 숫자만 보면 된다.
![%5Csqrt%20%7B%205%2B2%5Csqrt%20%7B%206%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6fc9o81azbtw.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%203%20%7D%2B%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6glncu7bug30.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%207-%5Csqrt%20%7B%2040%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6lbnmu1fkk2c.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%2040%20%7D%5Cquad%20%3D%5Cquad%202%5Csqrt%20%7B%2010%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6m9fkk1j4gp3.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%207-2%5Csqrt%20%7B%2010%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6mfp6hnrkase.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%207-2%5Csqrt%20%7B%2010%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%205%20%7D-%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6mgg9yma75p2.jpg)
근데 여기서 재밌는 사실은
![%5Csqrt%20%7B%207%2B2%5Csqrt%20%7B%206%20%7D%20%7D%2C%5Cquad%20%5Csqrt%20%7B%203-2%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%20%7D%2C%5Cquad%20%5Csqrt%20%7B%207-2%5Csqrt%20%7B%206%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6vwitp6c1ftk.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%207%2B2%5Csqrt%20%7B%206%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%206%20%7D%2B%5Csqrt%20%7B%201%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%206%20%7D%2B1%5C%5C%20%5Csqrt%20%7B%203-2%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%202%20%7D-%5Csqrt%20%7B%201%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%202%20%7D-1%5C%5C%20%5Csqrt%20%7B%204-2%5Csqrt%20%7B%203%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%203%20%7D-%5Csqrt%20%7B%201%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%203%20%7D-1%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6vzugiifzmr5.jpg)
![%5Csqrt%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%2B2%2B2%5Csqrt%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%2B1%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6w26oq9y4gk0.jpg)
잘 보면 x²+2과 x²+1이 들어있잖아요?
간단하게 x²+1과 1이라는 숫자를 곱하면 x²+1이고 x²+1과 1이라는 숫자를 더하면 x²+2가 되잖아요!
그러므로
![%5Csqrt%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%2B2%2B2%5Csqrt%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%2B1%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%2B1%20%7D%2B%5Csqrt%20%7B%201%20%7D%5C%5C%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%3D%5Csqrt%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%2B1%20%7D%2B1%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6w5wnn77xatj.jpg)
풀 수 있겠죠?
다음으로 라는 이중근호를 간단히 고쳐보실래요?
할 수 있나요? 어려울겁니다~ 힌트를 드리자면 작은루트에 2가 나오게 해야 한다는 겁니다.
아시겠나요?
해결방법은 바로 분모와 분자에 각각 √2를 곱해주는 겁니다.
![%5Csqrt%20%7B%202-%5Csqrt%20%7B%203%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%204-2%5Csqrt%20%7B%203%20%7D%20%7D%7B%202%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6wv4pwu7f9kg.jpg)
그럼 분모는 그대로 루트2이고 분자는 간단하게 고쳐서 루트3 - 1이 되겠죠!
따라서
![%5Csqrt%20%7B%202-%5Csqrt%20%7B%203%20%7D%20%7D%3D%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%204-2%5Csqrt%20%7B%203%20%7D%20%7D%7B%202%20%7D%20%7D%5C%5C%20%5Cqquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%3D%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B%203%20%7D-1%20%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%202%20%7D%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2013/12/14/hp6wwn5dzgii48.jpg)
![%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20a%20%7D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20b%20%7D%5Cquad%20%5Cxrightarrow%20%5E%7B%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%ED%86%B5%EB%B6%84%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%20%7D%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%20b-a%20%7D%7B%20ab%20%7D%5C%5C%20%5Cfrac%20%7B%20b-a%20%7D%7B%20ab%20%7D%5Cquad%20%5Cxrightarrow%20%5E%7B%20%5Cquad%20%EC%9D%B4%ED%95%AD%EB%B6%84%EB%A6%AC%5Cquad%20%20%7D%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20a%20%7D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20b%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2014/8/28/hze7h2gzvk1uah.jpg)
![%5Cfrac%20%7B%202%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%2B6x%2B8%20%7D%EB%A5%BC%5Cquad%20%EC%9D%B4%ED%95%AD%EB%B6%84%EB%A6%AC%ED%95%98%EB%A0%A4%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%201.%5Cquad%20%EC%9D%BC%EB%8B%A8%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%AA%A8%EB%A5%BC%5Cquad%20%EA%B3%B1%EA%BC%B4%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%B0%94%EA%BF%94%EC%A3%BC%EC%96%B4(%EC%9D%B8%EC%88%98%EB%B6%84%ED%95%B4%ED%95%98%EC%97%AC)%5C%5C%20%5Cfrac%20%7B%202%20%7D%7B%20(x%2B4)(x%2B2)%20%7D%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%A7%8C%EB%93%A4%EA%B3%A0%5C%5C%20%5C%5C%202.%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%AA%A8%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B3%B1%EC%9D%98%5Cquad%20%EB%92%A4%EC%97%90%EA%B2%83(b)%5Cquad%20-%5Cquad%20%EC%95%9E%EC%97%90%EA%B2%83(a)%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%B6%84%EC%9E%90(2)%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%98%EC%96%B4%EC%95%BC%5Cquad%20%ED%95%98%EB%AF%80%EB%A1%9C%5C%5C%20%EC%B5%9C%EC%A2%85%EC%A0%81%EC%9C%BC%EB%A1%9C%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%202%20%7D%7B%20(x%2B2)(x%2B4)%20%7D%EB%9D%BC%EA%B3%A0%5Cquad%20%EB%B0%94%EA%BE%B8%EB%A9%B4%5Cquad%20%5Cquad%20(x%2B4)-(x%2B2)%3D2%EB%A5%BC%5Cquad%20%EB%A7%8C%EC%A1%B1%ED%95%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%5C%5C%20%5C%5C%203.%5Cfrac%20%7B%202%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%2B6x%2B8%20%7D%3D%5Cfrac%20%7B%202%20%7D%7B%20(x%2B2)(x%2B4)%20%7D%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%2B2%20%7D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%2B4%20%7D%EB%9D%BC%EB%8A%94%5Cquad%20%EA%B2%B0%EB%A1%A0%EC%9D%84%5Cquad%20%EB%82%BC%5Cquad%20%EC%88%98%5Cquad%20%EC%9E%88%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2014/8/28/hze80a7r5ikosd.jpg)
![%5Cfrac%20%7B%203%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20k%20%7D%2Bk%20%7D%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%9D%B4%ED%95%AD%EB%B6%84%EB%A6%AC%ED%95%98%EB%A0%A4%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%201.%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%AA%A8%EA%B0%80%5Cquad%20%EA%B3%B1%EA%BC%B4%EC%9D%B4%EC%96%B4%EC%95%BC%5Cquad%20%ED%95%98%EB%AF%80%EB%A1%9C%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%203%20%7D%7B%20k(k%2B1)%20%7D%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%B0%94%EA%BE%B8%EA%B3%A0%5C%5C%20%5Cquad%20%5C%5C%202.%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%AA%A8%EC%97%90%EC%84%9C%5Cquad%20k%2B1%EC%97%90%EC%84%9C%5Cquad%20k%EB%A5%BC%5Cquad%20%EB%B9%BC%EB%A9%B4%5Cquad%203(%EB%B6%84%EC%9E%90)%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%90%98%EC%96%B4%EC%95%BC%5Cquad%20%ED%95%98%EB%8A%94%EB%8D%B0%5Cquad%201%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%95%8C%2C%5Cquad%20%EB%8B%B9%ED%99%A9%ED%95%98%EC%A7%80%5Cquad%20%EC%95%8A%EA%B3%A0%5Cquad%20%EC%9B%90%5Cquad%20%EC%8B%9D%EC%9D%98%5Cquad%203%EC%9D%84%5Cquad%201%EB%A1%9C%5Cquad%20%EA%B3%A0%EC%B3%90%EC%A4%8D%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%203%5Ctimes%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20k(k%2B1)%20%7D%EC%9C%BC%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%B0%94%EA%BE%B8%EC%96%B4%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20k(k%2B1)%20%7D%EB%A7%8C%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20k%20%7D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20k%2B1%20%7D%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%B0%94%EA%BE%B8%EC%96%B4%EC%A3%BC%EB%A9%B4%5Cquad%20%EB%81%9D~%5C%5C%20%5C%5C%203.%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%203%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20k%20%7D%2Bk%20%7D%3D%5Cfrac%20%7B%203%20%7D%7B%20k(k%2B1)%20%7D%3D%5Cquad%203%5Ctimes%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20k(k%2B1)%20%7D%3D3%5Cleft(%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20k%20%7D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20k%2B1%20%7D%20%5Cright)%20%5Cquad%20%EA%B2%B0%EB%A1%A0.%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2014/8/28/hze85va2ne1gzq.jpg)
![%5Cfrac%20%7B%20z-x%20%7D%7B%20xyz%20%7D%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20xy%20%7D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20yz%20%7D%5C%5C%20ex)%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%202%20%7D%7B%20(k%2B1)(k%2B2)(k%2B3)%20%7D%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20(k%2B1)(k%2B2)%20%7D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20(k%2B2)(k%2B3)%20%7D%20](http://images.se2.naver.com/smedit/2014/8/28/hze8a2be4g1g0j.jpg)
[출처] 제2강 수와 식 Ι - (2)곱셈공식과 이중근호|작성자 SperoSpera
'사는 이야기 > 수학사전' 카테고리의 다른 글
명제 (0) | 2015.01.26 |
---|---|
정수부터 복소수까지의 확장 (0) | 2015.01.26 |
루트를 이용한 간접조건 (0) | 2015.01.26 |
점 (0) | 2015.01.26 |
원 (0) | 2015.01.26 |