점

점

 

※ 전에 관해서 두 점의 사이의 거리, 중점/무게중심, 내분점/외분점 이 세가지를 알아야 합니다.

 

 1. 두 점 사이의 거리

 

거리란 공간적으로 떨어진 길이를 의미합니다.

즉, 두 점 사이의 거리란 어떤 두 점 사이에 떨어진 길이를 뜻합니다. 

 

 

예를 들어, 아래의 그림과 같이 수직선상에서 A가 1의 위치에 있고, B가 5에 위치해 있으면 

A와 B의 떨어진 거리는 4입니다. 쉽죠 ? ㅋ

 

 

 

 

수직선상에서 어쨌거나..

중요한 건, 좌표평면에서의 두 점 사이의 거리를 구하는 것입니다. (기하와 벡터에서는 좌표공간에서의 두 점 사이의 거리도 구합니다.)

 

 

수직선에서처럼 그렇게 간단하게 만큼은 거리를 구할 수 없습니다.

좌표가 주어져있지 않어서 그럴까요. 아뇨, 두 점의 좌표를 주어도 마찬가지입니다. 

​직접 구해보시면 알겠지만 처음 배우는 사람은 '자'를 이용하지 않는 한 수직선처럼 간단히 구하기는 어려울 겁니다.

 

 

 

그럼 어떻게 구해야할까요

 

1. 두 점의 x좌표의 차이를 구합니다.

 

 

2. 두 점의 y좌표 차이를 구합니다.

 

 

 

 

 

3. 이 길이는 두 점을 이용해 삼각형을 그었을 때, 각 길이는 삼각형의 높이와 밑변에 해당합니다.

 

 

4. 피타고라스의 법칙을 이용해 빗변을 구한다. 그 빗변은 두 점 사이의 길이가 됩니다.

위의 경우에는 √13이 됩니다.

 

 

 

 즉, x좌표차이와 y좌표 차이를 피타고라스 공식을 이용해 각각 제곱해서 루트에 씌우면 두 점 사이의 길이가 된다는 것입니다./

 

정리하자면

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 중점의 좌표 

 

중점(中點:중간, 점)이란 무엇일까요?

말그대로 중간에 있는 점입니다.

 

주로 두 점사이의 중점이나 선분의 중점을 구하게 될텐데요.

두 점을 이은 선분의 중점이나, 두 점 자체의 중점이나 결국 같은 개념입니다.

 

 

 

그렇다면 중점의 '좌표'는 어떻게 구할까요?

일단 수직선에서 봅시다.

 

위 처럼 일단 두 점의 거리를 구한 후 그 절반만큼 적은쪽의 점에서 더하거나 큰쪽의 점에서 빼서 구하는 방법도 있겠으나

그냥 두 점사이의 좌표의 평균을 구해주면 됩니다. ㅎㅎ

즉, 점 A의 좌표인 1과 점 B의 좌표인 5의 평균을 구해주면 중점의 좌표는 3임을 알 수 있지요.

 

좌표평면에서도 똑같습니다.

x좌표끼리 평균을 구해주고, y좌표 평균을 구해주면 그것이 중점의 좌표가 됩니다.

위의 그래프에서 A와 B의 x좌표는 각각 1과 5이므로 A, B의 x의 중점은 그의 평균인 3이고

y좌표는 차례대로 1, 3이므로 평균(중점)을 구하면 2가 되지요.

따라서 중점의 x좌표=3, 중점의 y좌표=2이므로

중점은 (3, 2)라고 할 수 있습니다.

 

 

 

세 점의 중점은 구할 수 있을까요?

똑같습니다.

특별히, 세 점의 중점을 '무게중심'이라고 하는데 이것역시 세점의 x좌표와 y좌표끼리 평균을 구해주면 중점의 좌표를 구할 수 있습니다...

 

예를 들어, 세 점 A(1,2), B(2,3), C(3,4)의 무게중심을 구하라고 한다면

각 점의 x좌표끼리의 평균과 y좌표끼리의 평균을 구해주면되므로

x좌표인 1, 2, 3의 평균은 2가 될것이고...

y좌표인 2, 3, 4의 평균은 3이 되므로

A, B, C의 무게종심은 (2, 3)이 되는것이죠.

 

 

 

 

＊ 혹시나 하는 마음에..

평균 : 대표값을 나타내는 방법중 하나로.. 모든 대상을 더한 후 더한 대상의 개수로 나눠주는 것이다.

예를 들어, 10, 20, 30이라는 세가지 숫자의 평균을 구하면 모든 대상인 세 숫자를 더한 후, 더한 대상의 개수인 3으로 나눠주면 되는 것이다.(평균은 20)

 

 

 

 

 

3. 내분점과 외분점

내분(內分, Interal Division)과 외분(外分, External Division)은 선분을 나눌 때 쓰는 수학적 용어입니다.

어떤 식으로 선분을 나누냐면 1:2나 3:2 등과 같이 비율로 선분을 나누게 됩니다.

그리고 그렇게 나눠지게 하는 점을 내분점, 외분점이라고 합니다.

 

 

한가지 알아둬야 할것은 선분AB와 선분 BA는 분명 같은 선분이지만 내분이나 외분할 때의 방향은 다르다는 사실입니다.

이건 무슨소리냐! 선분AB를 내분하는것과 선분BA를 내분하는 것은 서로 다르다는 것입니다.

선분AB를 1:2로 내분하는 것은 아래에도 있지만 A방향에서 B방향으로 1:2를 내분하는 것이며

선분BA를 1:2로 내분하는 것은 B에서 A방향으로 1:2를 내분하는 것입니다.

 

 

 

 

외분에 대해서도 알아보겠습니다.

일단, 만약 선분AB를 1:2로 내분한다면, 우리는 선분 내부의 한 점을 경유하면서 1:2로 나누어야합니다.

반면에 ​선분AB를 1:2로 외분한다고 한다면 선분 내부를 경유하는 것이 아니라..

외분점은 항상 선분AB에서 벗어난, 선분AB의 연장선의 위를 1:2를 만족하며 경유하게 됩니다.

아래와 같이 말이지요.

 

즉, 내분점은 항상 내분하는 선분 위에 존재하게 되는데, 외분점은 선분 위에 존재하지 않고 선분 바깥에 선분의 연장선을 그었을 때, 그 연장선상에 존재하게 됩니다.

 

 

 

 

 

이제부터 할 부분이 어렵게 느껴질 수도 있지만

내분점, 외분점의 공식은 반드시 외워야 합니다.

일단 공식이 어떻게 나왔는지 보여드리도록 하겠습니다.

 

 

신기하게 나온다. 선분AB를 m:n으로 내분하면

분모는 m+n, 분자는 m+n인데 m의 계수는 b, n의 계수는 a이다.

 

더 신기한 것은 외분점의 좌표는 앞에서 구한 내분점의 좌표에서 +기호를 -기호로 바꾸기만 하면 된다는 것이다.

 

 

또한, 수직선 상이 아니라 좌표평면에서도 성분이 늘어났을 뿐이지 결국 똑같은 공식이 나온다.

 

 

 

그러므로, 아래의 공식을 외우길 바랍니다..

 

 

 

좌표평면 위의 두 점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)라 할 때, 선분 AB를
1. m : n으로 내분하는 점 P(x, y)의 좌표는 

2. m : n으로 외분하는 점 Q(x, y)의 좌표는 

 

 

m≠n이라는 소리는 선분을 1:1로 외분이 불가능하다는 소리이다. 실제로도 1:1로 외분하려고 해도 불가능하다. 별이야기 아니니 그렇다고 알고 넘어가시길 바랍니다. 외분점 내분점에서는 내분점 외분점이 무엇인지 확실히 알고 그릴수 있어야 하며 좌표를 구하는 공식도 외워야 합니다.

 

[출처] 제3장 점과 원 - (1) 점|작성자 SperoSpera