원

(1) 원의 정의

원의 정의가 무엇일까요? (동그라미 아닙니다. ;ㅋ)

원의 정의는 바로 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점의 자취*라는 겁니다.

그것이 무슨 소리냐 하면

아래의 그림에도 있지만 

​움직이지 않는 한 정점(움직이지 않는 점)으로부터 같은(일정한)거리에 떨어져 있는 모든 점들을 다 모으면 그 모인 점들은 원이 된다 이런 뜻입니다.

 

중간의 정점을 원의 중심이라고 하고 그 같은 거리를 반지름(r)이라고 부릅니다.

 

(* 자취 : 점이 일정한 조건을 만족하면서 남긴 궤적이나 흔적을 말합니다. 원 또한 원의 정의를 만족하는 점들의 집합이므로 자취라고도 표현합니다.)

 

 

 

(2) 원의 방정식 

  ●  원의 방정식 도출

원의 방정식을 세운다는 것은 '원을 구성하는 모든 점들을 방정식 형태인 x, y로 표현한다는 것'으로

그렇기때문에 원 위에 있는 모든 점 (x, y)는 원식에 대하여(대입하면) 식이 성립한다는는 뜻입니다.

 

어쨌든 원의 방정식을 도출해볼텐데요.

방법은 정말 간단합니다. 그저 원의 정의만 이용하면 되는겁니다.

원 위를 지나는 임의의 점을 P(x , y)이라고 하고, 원의 정점을 (a , b), 반지름을 r이라고 한다면

아래 그림과 같이 됩니다.

원의 정의는 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점의 자취죠.

위의 그림에서는 정점인 (a,b)와 원 둘레에서 존재하는 동점 P(x,y)의 거리는 언제나 r이므로!!

두 점 사이의 거리공식을 이용하면

 

​

 

 

 

 

한 번 더 정리하자면

중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은

(x-a)²+(y-b)²=r² 이라는 것이죠.

 

이것은 원의 중심의 좌표와 반지름만 알면 언제나 원의 방정식을 세울 수 있다는 것입니다.

반대로 이번에는 원의 방정식이 주어졌을 때, 원의중심의 좌표와 반지름을 바로 알아낼 수 있어야합니다.

(x-a)² + (y-b)² = r²일 때

완전제곱식 안의 상수항의 부호를 바꾼 수가 원의 중심이고 반지름은 오른쪽 상수에 루트 씌운 양수값이 됩니다.

(x옆의 상수항은 중심의 x좌표, y옆의 상수항은 중심의 y좌표)

 

 

예를 들어 

 

만약

(x-1)² + (y+3)² = 4라면

원의 중심의 좌표는

완전제곱식의 상수항의 부호만 바꾼 수 즉, x에 관한 완전제곱식의 상수항은 -1이므로 원의중심의 x값은 부호를 바꿔서 1이 되고,

y에 관한 완전제곱식의 상수항은 3이므로 부호바꿔 -3이 됩니다.

 

반지름은 남는 상수 4에 루트를 씌운 값이므로 2가 됩니다.

 

 

 

 

● 표준형과 일반형

그런데!!

인생이 그렇게 호락호락하지만은 않습니다. (진지)

(x-1)² + (y+3)² = 4 이렇게 x, y에 관한 완전제곱식으로 중심의 좌표와 반지름을 찾기 쉽게 주어질수도 있지만(표준형이라고 합니다.)

이 두개의 완전제곱식들을 다 전개해 버리는 무자비한 식도 많이 주어집니다.

 

x²+y²-2x+6y+6=0 이렇게 말이지요. 이런 완전제곱식을 다 전개한 형태를 '일반형'이라고 부릅니다.

 

 

 

정리하자면

───────────────────────────────────────────────────

「완전제곱식 + 완전제곱식 = 상수항」 의 형태의 원의 방정식을 표준형이라고 하고

 

위의 표준형의 완전제곱식을 전개한

「 2차 + 2차 + 1차 + 1차 + 상수 = 0」 의 형태의 원의 방정식을 일반형이라고 합니다.

───────────────────────────────────────────────────

 

 

 

일반형으로 나타냈을 때도, 굳이 표준형으로 다시 원상복귀시키지 않고도 중심의 좌표와 반지름을 구할 수 있어야 합니다.

 

★☆ 일반형일 때의 중심의 좌표는 1차항들의 계수를 반으로쪼개고 부호를 바꾼 것입니다.

 

x²+y²-2x+6y+6=0 라고 한다면 

중심의 x좌표는 x항의 부호바꾸고 반으로 나누어야 하므로 계수 -2를 절반으로 나누면 -1이고 부호를 바꾸면 1이됩니다. 1이 x의 좌표가 됩니다.

중심의 y좌표도 마찬가지로 y의 계수인 6을 반으로조개고 부호바꾸면 -3이 됨을 알 수 있지요.

따라서 중심의 좌표는 (1 , -3)인 것이 나옵니다.

 

 

★☆ 반지름은 다이렉트로 바로 구할 수 있는게 아니라

반지름의 제곱먼저 구할 수 있는데요.

우리가 구한 중심의 좌표를 각각 제곱해서 더한다음 일반형의 상수항을 빼면 반지름의 제곱이 나옵니다.

즉, x²+y²-2x+6y+6=0에서 (1)² + (-3)² - 6 = 1 + 9 - 6 = 4 이므로 4가 반지름의 제곱이니까 루트를 씌우면 반지름인 2가 나옵니다.

 

 

 

정리

⇒ 일반형 일때의 원의 중심의 좌표와 반지름

 

 

 

 

 

 

 ♣

 

그런데 인생은 그렇게 호락호락하지만은 않다고 했잖아요.

 

위 처럼 결과만 외워서는 소용이 없어요..

왜 그렇게 되는지 알아두는게 좋아요. 왜그런지 생각을 해보고 생각을 해야 결국 수학적 사고가 올라가게되어 문제해결력을 올리는 거거든요.

외우기만해서는 문제를 결국 해결할 수 없습니다.

 

이유를 천천히 알아봅시다.

 

​ⓐ 일반형에서 원의 중심의 좌표

완전제곱을 전개하면, 예를 들어, (x+2)를 제곱하면 x²+4x+4잖아요?

그런데 원래 전개하기 전의 식 (x+2)에서 원의 중심의 좌표의 정보를 담고있는 것은 상수항이잖아요?

그래서 완전제곱식을 전개했을 때, 상수항의 정보가 어디로 이동하는지 알아야 하겠죠.

 

그러므로 한번 볼까요.

x²+4x+4에서 원식의 상수항인 2의 정보를 담고 있는 항은 무엇일까요.

정답은 4x와 4, 즉, 일차항과 상수항입니다.

그런데 ​상수항은 일반형을 전개하는 과정에서 상수항끼리 정리되면서 소실됩니다. 다른 상수항과 합쳐지죠.

그러므로 전개한 식에서 원식의 상수항 2의 정보를 담고있는 항은 4x만 남게 되지요.

이 4x는 원래의 2에서 2배해준것이죠?

그래서 일반형에서 x의 계수와 y의 계수를 2로 나눠면 전개하기 전의 상수항들이 나오므로

일반형에서 x의 계수를 2로 나눠주고 부호바꾸면 원의 중심의 x좌표가 되고,

y의 계수를 2로 나누고 부호바꾸면 원의 y의 좌표가 되는겁니다.

 

​

​ⓑ 반지름

 

표준형 「완전제곱식 + 완전제곱식 = 상수항」  에서 반지름은 우변의 상수항에 루트를 씌운것이죠?

그렇다면 표준형의 우변의 상수항만 알 수 있다면 그 원의 ​반지름을 구할 수 있다는 소리입니다.

​표준형의 완전제곱식을 전개한 것이 일반형이므로

일반형으로 바꾸었을 때, 즉, 완전제곱식을 전개했을 때 생기는 상수항만 잘 보면 원래의 표준형의 상수항을 구할 수 있습니다.

​

우선 (x-1)² + (y+2)² = 9 가 있다고 가정할게요. 일반형은 ( x² + y² -2x + 4y -4 = 0 ) 입니다.

완전제곱식 (x-1)²을 전개​했을 때, 1이라는 상수항이 생기게 되고, (y+2)²를 전개하면, 4라는 상수항이 생기게 되죠.

여기서 좌변의 상수항인 1과 4를 더해 5가되고 우변의 9를 좌변에 이항하여 계산하면 5-9가 되어 -4가 됩니다.

즉, 일반형의 -4는 원래의 완전제곱식을 전개해서 나온 상수항과 우변에 있던 상수항(반지름의 제곱)을 계산해서 나온것이죠.​

( 일반형의상수항(-4) ＝ 좌변의 상수항들의 합 - 우변의 상수항 )

그러므로 반대로 우변의 상수항(반지름의 제곱)을 구하려면 ​좌변의 상수항들의 합에서 일반형의 상수항을 빼줘야 겠죠.

​( 우변의 상수항​ = 좌변의 상수항들의 합 - 일반형의상수항(-4)​ )

​

그런데, 우선 (x-1)² + (y+2)² = 9​에서

일반형의 좌변의 상수항들의 합인, 1+4는 원래의 완전제곱식의 상수항인 -1과 2를 제곱해서 더한 것이므로

 

 

일반형에서의 완전제곱식의 상수항은 표준형에서의 상수항을 알면 구할 수 있다는 것입니다.

그런데 상수항은 원의 중심의 좌표에 부호를 바꾼것이므로

결론적으로

원의 중심의 좌표를 각각 제곱해서 더한 후(제곱하면 부호는 무조건 양수가 됨) 일반형의 상수항을 빼주면 표준형에서의 우변의 상수항...

즉, 반지름의 제곱이 나오게 됩니다.

그 수를 루트 씌우면 반지름을 구할 수 있게되는 겁니다.

 

 

 

(참고) 수식으로만 정리하면

 

 

 

 

 

 

 

 

# 자취(trace)의 방정식

자취란 국어사전에는 어떤 것이 남긴 표시나 자리로 되어있습니다.

수학에서의 자취도 비슷한 의미인데 그건 바로 '점'이 움직여서 생긴 자리입니다.

어떤 규칙에 의해서 점이 움직입니다. 그 점이 움직였던 자리들을 자취라고 부른다는 것입니다.

이러한 점을 동점(動點; 움직이는 점)점이라고 하는데요.

그 동점이 원모양으로 움직이면 그 점의 자취는 원이 되고, 직선으로 움직이면 자취는 직선이 되고, 포물선으로 움직이면 자취는 포물선입니다.

별이야기 아닙니다.

 

정리해서 자취의 방정식이란 어떤 규칙에 의해  이동된 점의 방정식으로 x, y사이의 관계식이라고 기억하고 있으면 됩니다.

 

이런 설명을 한 이유는 자취의 방정식을 문제에서 구하라고 했을 때, 어떤 도형인지 잘 안보이기 때문입니다.

앞으로 자취의 방정식을 구하려고 한다면 우리는  x, y사이의 관계식을 기억하고 있으면 됩니다.

 

 

 

 

예를 들어 점 P(t-3, t²+2)의 자취의 방정식을 구하하라고 할 때.. 눈씻고 아무리 찾아봐도 자취가 어떤 도형인지 알 수 없습니다.

이 때, 점 P의 x좌표인 t-3을 x라고 놓고, y좌표인 t²+2를 y라고 놓고  x, y사이의 관계식을 찾으면 됩니다.

t-3 = x

t²+2 = y

x와 y를 구해야 하지만 x는 t의 관계식으로 나타나 있고, y또한 t의 관계식으로 나타나 있습니다.

 

마치 나는 태희랑 친해지고 싶은데 나는 태희보다는 광희랑 친하고 태희도 광희랑 친한 분위기입니다.

이럴때는 광희가 중요한 역활을 맡습니다.

광희가 나와 태희를 만나게 해주고 자기는 빠져주는 것입니다.

이것을 사회에서는 '중매를 서다'라고 하고, 광희를 '중매쟁이'라고 부릅니다.

 

이 원리와 똑같이 풀면 됩니다.

t-3 = x

t²+2 = y

에서

x랑 y는 연결되어있지 않지만 t랑 친하니까 t를 이용해서 x, y가 연결되면서 t는 사라지는 것입니다.

이럴 때, t를 매개변수라고 부르고 t가 사라지는 것을 매개변수를 소거한다고 부릅니다.

어떻게 하느냐? 방법을 가리지 않고 합니다.

 

위의 문제에서는 t를 구해서 t²에 대입하면 끝입니다.

t-3 = x ( -3을 우변으로 이항시킵니다. )

t = x+3 ( 이것을 t²+2 = y에 대입하면)

(x+3)²+2 = y ( 정리하면)

x²+2x-y+2=0 이라는 자취의 방정식이 만들어집니다.

 

 

 

 

※ 원과 직선의 위치관계는 직선을 배울 때 하겠습니다.

[출처] 제3장 점과 원 - (2) 원 |작성자 SperoSpera