함수의 의미
함수는 실생활의 기계나 전자기구에 많이 이용되는데요.
함수는 어떤 명령이나 버튼의 클릭에 대해서 어떤 결과를 가져오게 하는 기능을 뜻합니다.
예를 들자면
자판기의 콜라 앞에 있는 버튼을 눌렀을 때, 아래의 구멍에서 콜라가 나오지요?
그 특정한 버튼을 눌렀을 때, 그에 해당하는 음료수가 나오는 역할을 하는 것!! 이런 개념을 수학적으로는 함수라고 부릅니다.
중학교 때, 우리는 함수를 아래와 같이 배웠지요?
x라는 집합안에 1, 2, 3이 들어있고요. y라는 집합안에 4, 5, 6이 있는데
쉽게말하자면 미팅을 한다고 생각하시면 되요. ㅋ
일반적으로 남자가 여자한테 화살을 쏘기 때문에
x의 집합이 남자들이고, y의 집합이 여자라고 보면 되요.
그렇다고 남녀차별은 아니고 ㅋㅋ 미팅에서는 일반적으로 남자가 여자에게 화살을 쏘는 경우가 많아요.
어쨌든 화살을 쏘는 남자를 수학적 용어로 정의역이라고 하고, 선택을 당하는 여자들을 공역이라고 합니다.
그러니까 남자(정의역)가 여자(공역)를 선택을 하게 되는데, 그 선택 되게하는 역할을 하는 것을 함수라고 하고 영어로는 function이라고 합니다.
각각의 함수에는 이름을 지정해주는 경우가 많은데, 함수(function)의 약자인 f부터 g, h, 등 을 자주 사용합니다.
위의 x에서 y로 화살을 쏘는 함수를 " f " 라고 명명한다면 이 f를 "x에서 y로의 함수"라고 표현합니다.
또, 위에서 1이 4로 화살을 쐈다는 것은 함수 f에 의해 1이 4에 대응된다고 말하며 1의 함숫값은 4라고도 표현하고, 수식으로는 f(1)=4라고 표현합니다.
f(1) = 4 ⇒ 해석 ⇒ 1이 함수 f에 의해 4로 대응된다.
(2) 함수의 조건
그런데 함수가 아무렇게나 화살을 쏜다고 해서 무조건 그 함수가 항상 성립되는 것은 아니에요.
함수는 성립조건이라는 것이 반드시 있습니다.
만약 아래와 같은 경우가 있다고 해봅시다.
각각, 1이 1에게, 2가 2, 3에게, 3이 4에게 대응되네요.
x에 소속되어있는 2란 놈을 보세요, 화살을 두 명에게 쐈어요.
정말 나쁜 놈이에요. 미팅에서 이러면 안되겠죠 -_-
이런것을 우리가 드라마에서는 삼각관계라고 부르기도 하는데,, 뭐 어쨌든 중요한것은 이렇게 정의역의 1개의 원소가 공역의 2개 이상의 원소에 대응되면 안된다는 사실이에요.
자판기로 예를 들어서
만약 자판기에서 콜라 버튼을 눌렀는데 콜라랑 사이다랑 같이 나온다고 생각해보세요. 사먹는 입장에서는 대박이지만, 자판기가 망가진거죠?
이러다 자판기 주인 ㅈ망해요.
미팅으로 치면 3번 남자가 여자들을 가만히 쳐다보다가 한숨을 푹 쉬고 아무도 안고르고 그냥 나간다고 생각해봐요 ㅋㅋ
아무리 마음에 드는 여자가 없더라고 그러면 실례겠죠 ㅋㅋ
또, 자판기로 예를 들면 콜라를 눌러도 아무것도 안나오면 얼마나 빡치겠어요. 돈먹는 자판기 잖아요. 망가진 자판기에요.
함수에서는 이런 불상사가 발행하면 안됩니다.
따라서, 함수의 성립조건은!!
철저히 남자의 시점으로 가져갑니다. (남녀차별 아니고요 함수가 그래요.)
선택하는 정의역(남자)이 공역(여자)을 빠짐없이 선택해야 하고, 한발씩만 쏴야 합니다.
즉, 줄여 말하면 ALL & onE (올 앤 원) : 모든 남자가 한발씩만 쏴야 한다.
모든 남자가 한발씩만 쏘면 함수가 성립하는 것이기 때문에
아래의 경우에도 성립함을 이해하시길 바랍니다.
..................
미팅에서는 이런 일이 비일 비재합니다. 정말로요.
이럴 때, 공역중에 화살이 안맞는 사람이 있고 맞는 사람이 있는데
맞는 사람을 "치역"이라고 합니다. 안맞는 사람은 용어가 없습니다.
또, 함수의 성질을 잘 타나내는 것이
사다리게임입니다.
하나를 선택하면 하나의 결과를 나타내 주잖아요.
이해 되죠?
네이버 - 사다리게임
(3) 함수와 그래프
고등학교에 오면..
아래와 같은 집합으로 표현하지 않고 그래프로 표현하게 되어있습니다.
위의 그림을 보면서
제가 아까 뭐라고 썼나요?
1이 4에게 화살을 쐈다..
이제는 이렇게 쓰지 않고요.
앞으로는 화살을 쏘는 집단인 정의역을 x축에, 화살을 맞는 집단인 공역을 y축에 나타내어 표시할 것입니다.
즉, 1이 4에게 화살을 쏜 것을 ( 1 , 4 )로 표현을 하고
2가 6, 3이 5에게 화살을 쏜 것은 각각 ( 2 , 6 ) , ( 3 , 5 )로 그래프에 표현을 한다는 것입니다. 아래의 그림과 같이요.
더 나아가서 1, 2, 3처럼 뚝뚝 끊어지는 x값이 아니라 1과 2사이의 모든 x가 다 화살을 쏜다면,
점들이 무수히 많이 연결되는데요.
그래서 점들이 연결되어 그래프라는 것으로 이루게 됩니다.
결국 그래프라는 것은 함수를 표현하는 방법 중 하나입니다.
어떤 이야긴지 아시겠나요?
만약 아래와 같은 경우에도 4가 화살을 쏴서 3이 화살을 맞았다라고 해석을 할 수도 있는거죠.
물론 수학적으로는 정의역 4가 공역 3에 대응한다고 하죠.
그렇다면 하나만 물을게요 아래와 같은 그래프가 있다면
아래의 그래프는 함수일까요 아닐까요?
함수가 아닙니다. 왜아닐까요?
남자들이 두발쐈잖아요.
임의로 값을 잡아봤는데 이제 느껴지시나요?
x에서 한발을 쏴야 하는데 x의 4가 2한테도 화살을 쏘고 6에게도 화살을 쐈죠?
따라서 이 그래프는 함수가 될 수 없답니다.
대부분 고등학교에서는 함수가 그래프로 나오기 때문에
그래프만 보고도 함수인지 아닌지 알 수 있어야 합니다.
그래서~ 그래프에서의 함수의 판정법을 알려드리겠습니다.
그래프에서 y축에 평행한 가로선을 그어서 모든 지점에서 한 점씩만 만나면 함수가 성립하고
두 개 이상이 만나면 함수가 아닙니다!
정리
화살을 쏘는 집단 : " 정의역 "
화살을 맞는 집단 : " 공역 ", 화살을 실제로 맞은 함숫값 : " 치역 "
함수의 성립 조건 : " 모든 정의역이 한발씩만 쏴야 한다. ( All & one ) "
그래프에서의 함수판정법 : " 모든 x의 값들에서 y축과 평행한 세로선을 그어서 한 점만 만나면 함수이다. "
[출처] 제5장 함수 - 함수의 의미와 조건|작성자 SperoSpera