합성함수

합성함수 

 

합성함수라고 들어보셨나요

합성함수는 두 개 이상의 함수를 생각한 것입니다.

 

우리가 지금까지 배운 함수는 x에서 y로 대응하는 함수를 배웠는데

여기서 끝나지 않고 y에서 z로의 함수가 있을 때를 생각하는 것입니다.

 

만약

아래에서와 같이 어떤 함수 f에 의해 1이 4로 대응된다면 수식으로 f(1)=4라고 표현하게 되고,  다시 함수g에의해 4가 8로 대응된다면 g(4)=8로 표현한다.

결국 1은 함수 f, g의 순서대로 대응되어 결국 8로 대응되는 것입니다.(1이 f에 의해 4, 4가 g에 의해 8로)

이것을 합성함수라고 하지요.

 

 

그런데 잘 생각해야 하는것이 합성함수의 표현식입니다.

위의 1이 f, g에 의해 8로 대응된다는 것을 f(1)=4, g(4)=8이렇게 두 식으로 표현하는 것은 번거롭습니다

 

우리가 함수를 표기하는 방법은 " 함수 ( a )  =   b " (예를들어, f(1) =4) 이런 식입니다.

a에는 어떤 함수에 대응해야할 대상(화살을 쏘는 입장의 숫자)을 넣고, b에는 함수에 의한 대응결과의 숫자(화살을 맞는 입장의 숫자)를 도출하게 되죠.

그러니까 "함수(대상)=결과"란 소리입니다.

즉, f(1)=4, g(4)=8는 f와 g의 함성함수에 의해 1이 8로 대응되므로 " f와g의합성함수 ( 1 ) = 8 "로 표현이 가능해야합니다.

 

그런데 이 두개의 식"f(1)=4, g(4)=8"이 있을 때  두개의 식을 하나로 나타낼 수 있답니다.

g(4) 에서 4가 있죠? 그런데 f(1)=4에서 보는 것처럼 4는 f(1)과 같으므로 g(4)=8의 4에 f(1)을 대입하면

g(f(1))=8라고 표현이 가능합니다.

 

그러므로, " f와g의합성함수(1) = 8 " 과  g(f(1))=8는 같은표현입니다.

그런데 합성함수를 이중으로 괄호를 쳐서 표현하기 보다는 합성기호를 하나 만들어 f와g의합성함수를 "g∘f" 라고 표현합니다.

g(f(x))=g∘f(x)

 

연산순서는 괄호에서 왼쪽부터 가장 가까운 순서대로 연산을 하기 때문에 주의하시길 바랍니다. 예를 들어 는 f, g의 순서대로 하게 되지요.

 

 

 

 

(8) 함수와 그의 역함수와의 합성함수

f(x)= 2x²-2 일 때,

f-1∘f(3)의 값을 생각해봅시다.

 

f-1∘f(3)를 먼저 생각해보세요. 3은 f에 의해 어떤 한 값으로 대응될 것입니다.

그런데 f의 역함수는 처절한 복수극이라고 했죠. f에의해 3이 어떤 값으로 대응되던 그 값은 f의 역함수에 의해 다시 3으로 대응되어있지요. 아래그림처럼..

즉, 어떤 값을 f와 f의 역함수와 차례대로 대응시키면 결국에는 자기자신이 나온다는 소리입니다.

⇒ f-1∘f(x)=x

(또, f와 f의 역함수는 자리바꿔도 상관없습니다.   f-1∘ f(3)=f ∘ f-1(3)  )

 

 

 

그런데 자기자신만을 합성시키는 함수는 어떤것밖에 없게요?

항등함수밖에 없습니다.

함수와 그의 역함수를 합성한 함수는 항등함수와 같다고 기억하셔도 됩니다.

 

 

 

또, 이런 방식으로도 알아야하는데 f-1∘ f(3)는 3입니다.

즉, f-1∘ f(3)의 f-1∘ f는 무시해도 좋다는 의미입니다. f-1∘ f(5) 또한 f-1∘ f무시하고 5라고만 읽어주셔도 됩니다.

 

그렇다면

g-1∘f-1∘ f ∘ g(3)의 값은 무엇일까요?

 

f-1∘ f는 무시하면

 

g-1∘f-1∘ f ∘ g (3)는 g-1∘ g(3)가 되고 

 

 g-1∘ g(3)의 값은  g-1∘ g를 무시하여 3이므로

 

 

g-1∘ f-1∘ f ∘ g(3) = 3을 만족함을 볼 수 있습니다.

 

 

이것을 새롭게 해석해보겠습니다.

g-1∘ f-1∘ f ∘ g(3) 는 결국 3이므로 항등함수입니다.

그렇다는 이야기는 g-1∘ f-1∘ f ∘ g를 (g-1∘ f-1 )∘ (f ∘ g ) (3) = 3 이렇게 보면

 

(f ∘ g )의 역함수가 (g-1∘ f-1 )라는 것을 알 수 있습니다.

 

공식으로 생각하셔도 됩니다.

합성함수의 역함수는 각각 역함수의 연산인데 순서를 바꾸자.

 

 

 

그리고 역함수의 역함수는 자기자신이랍니다.

 

 

(9) 역함수 그래프 그리는법

 

마지막으로 알아야 하는 것이

y=f(x)의 그래프가 주어져 있을 때, y=f(x)의 역함수의 그래프 즉, y=f-¹(x)를 그릴줄 알아야 한다는 것입니다.

 

역함수끼리의 그래프는 y=x대칭이므로 y=x직선을 그린 후 대칭해서 그려야 하는데

인간인 이상 그것을 정확하게 그리기란 어렵습니다.

이럴 때는 차라리 x축을 y으로 y축을 x축으로 생각해버리면 역함수의 그래프를 정확하게 그린 것이 나와버립니다.

 

 

 

 

 

 

 

정리

합성함수 : 두 개 이상의 함수를 연속하여 대응할 때의 함수를 합성함수라고 한다.

1이 f와 g에 의해 3으로 대응된다. g(f(1))=3   ⇔   g∘f(1)=3

2는 g와 f에 의해 6으로 대응된다. f(g(2))=6   ⇔   f∘g(2)=6

 

역함수 공식들(?)

1. f-1∘ f (x)=x 

2. 

3. 

 

 

역함수의 그래프를 그리려면 y=x축대칭해도 되지만, y축과 x축을 바꿔버려도 된다. 

[출처] 제5장 함수 - 합성함수|작성자 SperoSpera