# 대수에서의 당연한 성질
어떤 한 그래프를 지나는 점은 언제나
그 직선의 방정식에 대입하면 성립하게 됩니다.
예를 들어, 어떤 함수 y=f(x)가 있다고 하고, 그 그래프 위의 한 점을 (a, b)라고 한다면 점 (a, b)는 언제나 함수식에 대입한 b=f(a)가 성립한다는 것입니다.
점 (a, b)는 언제나 함수식에 대입한 b=f(a)가 성립한다는 것입니다. (왜냐하면 (a, b)는 x=a, y=b인 점이므로)
함수는 그래프와 빼 놓을 수 없습니다. 누군가 함수는 '결국 그래프'라는 말을 한적이 있는데 맞는 말이라고 생각합니다.
만약, x+1=0와 같이 특정한 '미지수'를 구하는 것이 "방정식"이라고한다면
함수라는 것은 예를 들어, y=x+3 이라는는 식이 있을 때, 주어진 식을 만족하는 x와 y의 순서쌍을 찾는 것입니다.
앞서서 배웠던 것을 활용하여 설명하면 화살을 쏘는 정의역과 그 화살을 맞는 치역간의 대응관계에서 각각의 대응하는 점들을 모두 찾는거지요.
가령 y=x라는 함수가 있다면 y=x를 만족하는 x, y의 순서쌍은 (1, 1), (2, 2), (3, 3).. 이런 규칙으로 계속 나오게 됩니다.
그러한 모든 점들을 연결해서 좌표평면상에 나타낸다면 아래와 같은 직선이 나옵니다.
이 좌표평면상에 나타난 직선의 그래프를 y=x라고 나타낼 수 있으며 이 그래프를 지나는 모든 점은 y=x라는 방정식을 만족시킵니다.
다른 말로 이 그래프를 지나는 모든 점은 y=x라는 방정식에 x좌표 y좌표를 대입해도 항상 성립한다는 소리입니다.
예를 들어 (2, 2)는 이 그래프를 지나는 점이며 y=x에 대입하면 2=2으로 방정식이 성립합니다.
제5장 함수 - (5) 1차함수(직선)
직선은 중2때 배웠겠지만 다시한번 제대로 해봅시다.
일단 직선은 y=ax+b라는 y가 1차, x가 1차, 상수항으로 이루어진 함수입니다.
y로 정리한 식에서 직선은 항상 x에 관한 1차식이라서 1차함수라고 합니다.
직선의 방정식을 만드려면 일단 기울기와 그 직선이 지나는 점을 알고 있어야 합니다.
다른 말로, 기울기와 그 직선이 지나는 점이 주어진다면 직선의 방정식을 구할 수 있다는 뜻입니다.
따라서 기울기에 대한 설명을 하고자 합니다.
(1) 기울기의 의미
직선의 기울기란 무엇일까요?
직선의 기울어진 정도를 의미하는데, 이것은 x가 변화했을 때, y가 변화하는 정도를 뜻합니다.
정의하자면 
라고 정의할 수 있습니다.
아래그림을 보세요.
예1)
직선1은 x가 2만큼 증가할 때, y는 3만큼 증가하고
직선2는 x가 2만큼 증가할 때, y는 1만큼 증가합니다.
따라서 직선1의 기울기는 
이고 직선 2의 기울기는
입니다.
직선 1의 기울기가 직선 2의기울기보다 더 큽니다.
예2)
직선1의 기울기는 x가 1증가했을 때, y는 -1만큼 변화했으므로 기울기는 -1
직선2의 기울기는 x가 1증가했을 때, y는 -2만큼 변화했으므로 기울기는 -2
직선1이 직선2보다 기울기가 더 큽니다.
(2) 기울기의 크기
그런데 한가지 더 숙달해야 하는 것은
기울기의 대소관계입니다. 직접 기울기의 크기를 구하지 않고도 대소관계가 명확히 보여야 합니다.
금방 구하는 법은 오른쪽 끝이 결국 더 높은 쪽아지는 쪽이 기울기가 더 크다고 할 수 있습니다.
아래의 두개의 직선을 보세요.
어떤 직선이 더 기울기가 큽니까? 직선1이 오른쪽 끝이 더 높아지므로 직선 1이 더 큽니다.
다음 두 개의 직선을 보세요.
직선1의 오른쪽이 더 높아지므로 직선1이 직선 2보다 기울기가 더 큰것이 됩니다.
(3) 직선의 방정식(1차함수의 함수식)
● 기울기와 지나는 한 점을 이용하여 직선의방정식 세우기
기울기를 자세히 배웠으니 이제는 직선의 방정식(=1차함수)을 구할 차례입니다.
직선은 기울기와 그 직선이 지나는 한 점만 알 수 있다면 식을 세울 수 있다고 했습니다.
1차함수는 언제나 y=ax+b의 형태이며 여기서 x의 계수, 즉, a가 직선의 기울기를 의미합니다.
(y=ax+b라는 직선이 있다면, x계수 = a = 직선의 기울기)
x의 계수가 기울기라는 것과 지나는 점만 안다면 함수의 성질을 이용하여 금방 구할 수 있습니다. 아래를 보세요.
만약 기울기가 5이고 (1, 3)을 지나는 직선을 구하라고 한다면
식은 일단 y = 5x + □ 가 됩니다.
그리고 지나는 점이 (1 , 3) 입니다. 이 페이지 맨 처음에 배운 함수의 성질을 이용한다면
그 지나는 점을 y = 5x + □ 에 대입해도 항상 성립해야 하므로
(1 , 3)을 y = 5x + □ 에 대입하면 3 = 5 + □가되며 정리하면 □ = -2가되므로 y = 5x - 2라는 직선의 방정식을 구할 수가 있습니다.
● 직선이 지나는 두 점이 주어졌을 때, 직선의 방정식 세우기
이번에는 두개의 직선을 지날 때의 직선의 방정식을 세우는 법을 배우겠습니다.
유형이 변했지만 언제나 기본은 같습니다. 기울기와 지나는 한 점을 알고있으면 됩니다.
만약 직선이 (1 , 0), (5 , 3)을 지난다고 할 때,
두 점이나 주어졌으니 지나는 점은 이미 주어진 것이고
기울기만 구하면 됩니다.
주어진 직선과 두 점을 그려보면
이렇게 되는데 기울기는 결국
입니다.
즉, 
임을 알 수 있습니다.
그림을 그리지 않아도 주어진 두 점 (1 , 0), (5 , 3)을 보면
처음 점에서 x가 4만큼(1에서 5로) 증가하자 y가 3만큼(0에서 3으로) 증가하는 것을 볼 수 있으므로
이렇게 기울기가 구해집니다.
여기까지 식을 만들면
x, y에 지나는 한 점 (1 , 0) 또는 (5 , 3)중 아무거나 대입해서 방정식을 찾아내자.
구한 식에 (1 , 0)을 대입하면
이므로
따라서 방정식을 구하면
굳이 공식화 하자면
별 얘기 아닙니다.
● 직선의 방정식의 표준형과 일반형
어떤 방정식이 있을 때, y가 1차, x가 1차, 상수항이 있다면 그 방정식은 언제나 직선이 됩니다.
y로 정리된 y=2x+1라는 형태의 직선도 존재하지만 한쪽변으로 넘긴 2x-y+1=0이라는 형태의 방정식도 언제나 직선이 됩니다.
y로 정리된 방정식을 표준형(y=ax+b)이라고 하고, 한 변으로 다 넘긴 형태의 방정식을 일반형(ax+bx+c=0)이라고 합니다.
고등학교에서는 표준형도 많이 나오지만 일반형도 많이 나오기 때문에 일반형을 보고도 바로 기울기를 알아 낼 수 있어야 합니다.
예를 들어, 2x-y+1=0이라고 할 때, 기울기는 2입니다.
x+2y+3=0일 때, 기울기는 -½입니다.
(4) x절편과 y절편
직선의 방정식이 주어졌을 때, 그래프를 그리는 가장 간단한 방법은 x절편과 y절편을 찾는 방법입니다.
x절편이란 그래프를 그렸을 때, x축과 맞닿는 점을 의미하고 y절편은 y축과 맞닿는 점을 의미합니다.
아래의 직선에서는
x절편이 3, y절편은-2입니다.
그리고 그림을 잘 보면 x절편은 y가 0일 때의 x의 값이며, y절편은 x가 0일 때, y값입니다. 무슨 소린지 해깔린다면 아래 그림을 참고!
이것이 이해가 된다면
직선의 방정식의 식만 주어지다고 해도 y절편과 x절편을 구할 수 있겠지요.(왜냐하면 x절편은 y가 0일때의 값이고, y절편은 x가 0일 때의 값이니까)
만약 y=-2x+2라고 한다면 x절편은 y대신 0을 넣었을 때, 0=-2x+2이므로 x=1이라는 값이 나오므로 x절편은 1
y절편은 x대신 0을 대입하면 2라는 값이 나옵니다.
이 x절편과 y절편을 이은 직선이 바로 직선의 그래프가 됩니다.
[출처] 제6장 일차함수 - 기울기와 식|작성자 SperoSpera