이차함수
(1) 이차함수의 의미
이차함수는 예를 들면, y=x²+2x-3이런 식으로 y에 대한 정리가 x관한 2차식으로 이루어진 함수를 의미합니다.
이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법 중에 완전제곱식을 이용하여 풀 수 있는 방법이 있습니다.
설마 모르진 않겠지요? 모른다면 이참에 간단히 공부해보면 됩니다.
완전제곱식을 이용하는 풀이의 본질은 실수² ≥0을 이용하여 구하는 것입니다.
만약 어떤 x라는 수가..... 실수이기만 하면!
x²은 x가 어떤 실수이던지 양수 또는 0(0보다 크거나 같음)이 될거라는 사실은 자명합니다.
또, 실수인 x에서 1을 뺀 x-1도 똑같이 실수가 됩니다. 맞죠?
x는 실수이니까 수직선상에 어딘가 존재할 것인데 1을 뺐다는 것은 그 x가 존재하는 자리에서 1만큼 왼쪽으로 이동하면 x-1이 되는거니까요.
어쨌든 x가 실수라면 x-1도 실수가 됩니다. 그렇다는 이야기는 x-1을 제곱한 (x-1)²또한 양수 또는 0이 된다는 소리입니다.
수식으로 나타내면 (x-1)² ≥ 0이 됩니다. 이해가시죠?
" (x-1)² + 5 "는 어떨까요? (x-1)²는 0항상 크거나 같습니다. 거기에 5를 더했으니 (x-1)² + 5는 5보다 크거나 같습니다.
즉, (x-1)² + 5 ≥ 5입니다.
그렇다면 하나만 물어볼게요.
(x-1)² + 5 는 5보다 크거나 같은 수라고 했는데
(x-1)² + 5의 최솟값은 무엇일까요? 바로 5입니다.
이것이 바로 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 최솟값을 구한 것입니다.
무슨소리냐면 모든 실수x에 관한 2차식은 완전제곱식+상수의 형태로 바꿀 수 있습니다.
예를 들어, x²+6x+11은 (x+3)²+2로 바꿀 수 있지요.
이럴 때, (x+3)²는 x가 실수이므로 x+3도 실수이고 따라서 (x+3)²≥0이므로 (x+3)²+2≥2이죠. (x+3)²+2는 2보다 크거나 같다는 소리이므로
x²+6x+11의 최솟값은 2가 되는 겁니다.
그렇다면 "y = x²-2x+6가 최솟값을 가질 때, x의 값을 구하여라."라고 했을 때, 답은 무엇일까요?
x²-2x+6는 완전제곱식+상수로 정리하면 (x-1)² + 5이고 (x-1)² + 5 ≥ 5이므로
(x-1)² + 5의 값이 5일 때 최솟값을 가집니다. 즉, (x-1)² + 5 = 5일 때의 x값을 구하면 되므로 정리하면 (x-1)²=0가 나오고
x가 1일 때, (x-1)²가 0이므로,
(x-1)² + 5가 최솟값을 가질 때, x의 값은 1입니다.
간단하죠?
그런데말이죠
x가 실수라면 (x-1)²의 값은 0보다 크거나 같잖아요?
-(x-1)²의 값은 어떻게 될까요?
아, 그러니까.... (x-1)²는 0보다 크거나 같으니까 3이나 90라던지 √3같은 양수가 나오게 되잖아요? 그런데 거기에 -를 붙이면 항상 음수가 될것 아니에요.
양수에 마이너스 붙이면 항상 음수가 된답니다 ㅋ
(x-1)²는 항상 0보다 크거나 같으니까(양수 또는 0이니까..) 양수 또는 0에 마이너스를 붙인 -(x-1)²는 0 또는 음수라는 겁니다.
(0에 마이너스 붙여도 0이니까 0을 포함한겁니다.)
그러므로 -(x-1)²의 값은 0보다 작거나 같습니다.
그렇다면 "-(x-1)² + 2"는 2보다 작거나 같습니다. 이해가시나요?
"-(x-1)² + 2"는 2보다 계속 작건 2랑 같은 수가 나옵니다. 그렇다면 최댓값은 얼마일까요? 2입니다. 이해가나요..
이것으로 열심이 공부한 사람도 있겠지만
하지만
이것은 중3정도의 풀이방법입니다.
이정도의 풀이방법도 몰랐다면 반성하셔야합니다 .
물론 걱정은 마십시오.. 만약 제 설명을 제대로 이해하고 따라오는 사람은 수능에 있어서 고1기본에 있어서 부족함은 없을 것입니다.
(2) 그래프를 이용한 이차함수의 풀이
근데.. 이런식보다는 그래프를 그려서 해결하는 것이 더 쉽고 빠르게 풀 수 있습니다.
더 편합니다. (물론 위의 방법도 할 수 있어야 합니다.)
이차함수를 보면 뭘해야한다고요? 그래프를 그려야 한다고요. 그게 훨씬 쉽다고요.
최댓값, 최솟값, 극댓값, 극솟값, 평균값, 중간값, 등 대부분의 ~값이라는 용어가 있다면 이것은 전부 y값을 의미하는 것입니다.
y값이라는 것은 그래프에서 위 아래를 의미합니다.
따라서 그래프에서의 최댓값은 그래프에서 제일 위에있는 y값이고, 최솟값은 그래프에서 제일 아래에있는 y값 입니다.
그래프만 구할 수 있다면 최댓값 최솟값은 껌입니다.
미분을 고2에서 배우겠지만 미분도 결국 그래프를 그릴 수 있게하는 도구라고 보셔도 된답니다..
미적분에서는 결국 함수가 관건이라는 소리입니다.(함수는 그래프와 밀접한 관계가 있지요.)
어쨌든
이제 설명하고자 하는 것은 2차함수의 그래프입니다.
2차함수는 포물선(공을 던졌을 때, 공이 올라갔다가 떨어지는 모양..)처럼 생겼는데
최고차항의 계수가 양수면 아래로 볼록하게 되고 최고차항의 계수가 음수면 위로볼록하게 됩니다. 항상 그렇습니다.
# 최고차항의 계수란 최고로 높은 차수의 항의 계수라는 의미입니다.
만약 2x³-x²+3x+1이라는 식이 있다면 이 식의 최고차항은 x³이므로 최고차항의 계수는 2가 됩니다.
그러므로 만약 y=x²+2x-1이라는 함수의 그래프를 그리려고 한다면 x축, y축 생각하지 말고 아래로 볼록한 함수를 그리시면 됩니다.
그런데 이차함수는 재미있는 성질이 있습니다.
2차함수의 그래프에서 가장 볼록한 부분을 꼭지점이라고 하는데 이 꼭지점을 포함한 직선을 세로로 그었을 때, 이차함수는 좌우로 대칭이 됩니다.
즉, 이차함수는 꼭지점을 포함하는 x축에 수직인 직선에 좌우로 대칭이므로
만약 꼭지점x좌표의 값을 0이라고 하고, x축상에서 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3를 표현한다면 아래와 같은 그림이 됩니다.
이 그림을 이용하여 x의 범위가 주어졌을 때, x의 구간을 잘 나눌 수 있어야 합니다.
이것을 이용하여 최대, 최솟값을 구하게 된답니다.
문제풀면서 느낄겁니다..
따라서 이 성질을 이용하면 꼭지점의 x좌표만 안다면 어떤 x의 범위가 주어져도 최대최소를 구할 수 있게 된답니다.
일단 꼭지점의 x좌표를 구할 수 있어야 하는데
만약 y=ax²+bx+c라는 함수가 있다면
이 함수의 꼭지점의 x좌표는 
가 됩니다. 쉬우니까 그냥 외우시고가실게요~ 꼭지점x좌표는 -2a분의 b 꼭암기
지금 이해가 안됐어도...
바로 문제를 풀어보면서 최대최소문제를 푸는 방법을 이해시켜드릴게요.
예제 1)
일단 그래프를 그려볼게요. 최고차항의 계수가 양수죠 그렇다면 아래와 같이 생겼지요.
참 쉽죠잉?
여기서 꼭지점 x의 좌표를 구해볼게요.
-2a분의 b이므로 
에서는 꼭지점의 좌표가 -2가 됩니다.
최솟값은 2차함수의 그래프에서 맨 아래있는 값이므로 꼭지점에서의 y값이 최솟값이 되겠네요.
의 x에 꼭지점의 x좌표인 -2를 대입하면 꼭지점에서의 y값이 나옵니다. 대입하면 y=4-8-2=-6
즉, -6이 최솟값이군요.
이 그래프에서는 최댓값이 없어요. 물론 저 위의 그래프에서는 위로 끝이 있는것처럼보이지만 실제로는 끝이 없습니다. 한없이 올라가는 그래프랍니다...
직선이 끝없는것처럼 말이죠.
예제2)
역시 그래프를 그려볼게요. 최고차항의 계수가 또, 양수죠 그렇다면 아래와 같이 생겼지요.
참 쉽죠잉?
똑같이 꼭지점의 x좌표를 구해볼게요.
-2a분의 b이므로 
에서는 꼭지점의 좌표가 2가 됩니다.
그런데 x가 정의되는 "정의역", 즉, 화살을 쏘는역인 x의 범위가 " -1 ≤ x ≤ 3 "이라고 주어져있습니다.
즉 x가 " -1 ≤ x ≤ 3 인 범위에서만 생각해야하는데 꼭지점의 x좌표가 2이죠?
따라서 -1은 2의 왼쪽 멀리에 있고, 3은 2의 바로 오르쪽에 존재합니다. 아래그림 참조!
이 그림에서 x의 범위가 지정된 것만 남기고 지워버리면
이렇게 되는데 여기서 최댓값 최솟값을 구해주면 답이 나옵니다.
최댓값은 x가 -1일 때의y값이고, 최솟값은 x가 2일 때의 y값이니까..
에서
최댓값은 y=3+12+1=16이고
최솟값은 y=12-24-1=-13입니다.
삼각함수를 치환하여 2차함수의 형태로 바꾸어 풀이할 수 있는데.. 나중에 삼각함수를 배우고 나서 따로 할생각입니다!
정리
2차함수란 "y = x에관한2차식"
2차함수의 최대값과 최솟값의 풀이 완전제곱식을 이용한 풀이도 있으나 그래프를 직접그려서 풀이하는 것이 더 빠르고 정확하다.
2차함수의 그래프개형은 포물선 모양인데 " 아래로볼록(2차항의 계수가 양수) / 위로볼록(2차항의 계수가 음수) "
꼭지점의 x좌표 → 
2차함수는 꼭지점을 지나는 세로축을 기준으로 좌우대칭이다.
[출처] 제8장 이차함수|작성자 SperoSpera