허수

허수

 

 

(1)  허수의 의미

​

전의 〔수와 식Ⅰ〕에서 배웠듯이 복소수는 실수와 허수로 나뉘어집니다.

그리고 실수는 유리수와 무리수로 나누어지며​

유리수는 정수와 정수아닌 유리수로

정수는 음의 정수, 0, 양의정수(자연수)로 나눠지지요.

 

그 때, 모든 실수는 제곱하면 양수 또는 0이 나온다고 배웠는데요.

일단 그 이유를 먼저 설명해 볼까 합니다.

모든 실수는 〈 ⓐ 음수 / ⓑ 0 / ⓒ 양수 〉이렇게 반드시 3개로 나눌 수 있습니다.

ⓐ 양수의 제곱은 그대로 양수이고   →  (양수)² = 양수

ⓑ 0의 제곱은 그대로 0이고    →  0² = 0

ⓒ 음수는 "-양수"로이므로 (음수)²은 (-양수)² 로 바꿀 수 있는데 또한, (-양수)는 (-1×양수)로 바꿀 수 있기 때문에

(음수)² = (-양수)² = ​(-1×양수)²이고 지수법칙에 따라 결국 (음수)² = ​(-1×양수)² = ​(-1)²×(양수)²로 바꿀 수 있다. 그런데 (양수)²​는 양수이고, (-1)²=1이므로

(음수)² = 양수라는 결론이 나옵니다.​

따라서 모든 실수의 제곱은 양수라는​ 최종결론입니다.

 

 

 

 

아까 언급했듯이 실수는 정수부터 유리수나 순환소수나 순환하지 않는 무한소수나 전부 실수입니다.

그런데 수학에서는 실수가 아닌 수가 존재하는데요.

그러한 수를 허수(虛數, imaginary number )라고합니다.

허수의 정의는 무엇일까요.

 

말하자면 허수는 "실수가 아닌 수"입니다.

 

허수의 특징은 제곱해서 양수나 0이 나오지 않는다는 것입니다.

따라서, 일단 허수는 제곱해서 음수가 되는 수라고 잠시 알아만 둡시다.

하지만 기억해야 할 것은 절대로 이 정의가 완벽하지는 않다는 것입니다.  

  

 

 

우선 이차방정식을 통해서 허수의 단위부터 차근차근 공부해 보도록 하겠습니다.

 

 

허수의 시작은 x²＝-1이라는 방정식입니다.

이 방정식의 우변을 좌변으로 이항하여 x²-(-1)=0으로 바꾸고

좌변을 인수분해하면  이렇게 바꿀 수 있습니다.

따라서 방정식의 풀이에 의해 이라는 근을 찾게 되지요.

 

 

물론 예전에는 루트 안에는 반드시 양수나 0이 와야한다는 조건이 많이 붙지만

그런 조건이 안붙는다면 제곱을 해서 -1이 되는 수가 존재하게 되는 셈입니다.

그 숫자를 허수단위라고 이름짓고 이 허수단위를 허수의 맨 앞자리 알파뱃만 따서 i라고 정의하게 됩니다.

→ 

 

그런데 허수는 실수처럼 양이 정해져있는 수가 아니라 가상의 숫자입니다. 따라서 이 허수단위에 실수배 또는 상수가 더해진 형태인

2, 3, -4, ,  , 2i-3, i+ 등은 모두 허수로 취급합니다.

 

 

왜냐하면!

예를 들어, 제 통장에 돈이 있는데 여러분들은 얼마있는지 모릅니다. 그런데 제가 통장에에 3만원을 더 넣었습니다. 과연 통장에는 얼마가 들어있을까요?

답은 모른다 입니다. 당연한 겁니다. 애초에 빚이 있는지, 아무돈도 없었는지, 아니면 10원이 들어있는지는 여러분들은 제 통장을 보지 않는 이상 모를겁니다. 애초에 얼마있는지도 모르는데 거기에 3만원을 더 넣었단들 총 값을 알 수 있을까요?

결코 없습니다.

이것처럼 허수는 수의 대소의 개념이 없는데 거기에 실수를 더한다고 허수가 아닌게 아니거든요.

아시겠죠~ (→ 허수에다 어떤 실수를 더하거나 곱한들 결국 허수이다.)

 

 

결국 허수의 정의를 마무리 하자면 허수단위인 i에 0이 아닌 실수배하고 상수항을 추가한 모든 형태가 허수라고 할 수 있습니다.

 

즉, a, b가 실수 일 때, a+bi가 허수라고 하는 것입니다.(단, b≠0)

 

또, 위의 식에서 a부분을 실수부라고 하고, bi부분을 허수부라고 합니다.

허수는 a+bi (b≠0)의 형태로 존재한다는 것 꼭 기억하세요.​

 

 

 

→ 

 

허수를 수식으로 정의

 

ⓐ a, b가 실수인 이유 : 실수가 아니라 허수라면 예를 들어, b=2, a=-2i라면 에 대입했을 때, -2i+2i=0이 나온다. 이처럼 a, b는 실수여야 한다. →  a, b가 실수라는 건 허수를 정의하기위한 기본적인 전제 !

ⓑ b≠0인 이유 : b=0이 되면 a+bi가 a만 남아버리는데 a는 실수이므로 말이 안된다.

 

 

※ 참고

단위는 항상 숫자 1과 관련이 있다.

단위원=반지름이1인원

단위삼각형=한 변의 길이가 1인 정삼각형

단위행렬=숫자1과성질이같은행렬

단위벡터=길이가1인벡터

(모르는 건 넘어가고 단위가 1이랑 관련이 있다는 것만 확인하세요!)

 

 

 

2. 허수의 성질

ⓐ 허수의 제곱은 음수?

많은 사람들이 허수의 제곱은 음수라고만 알고있습니다. 심지어 네이버 국어사전에도 허수가 제곱하면 음수가 되는 수라고 나옵니다. 과연 그럴까요?

 

 i²은 -1입니다.  맞죠!

1+i는 허수입니다. 맞나요?

1+i를 제곱해볼게요

응? 허수를 제곱했는데 다시 허수가 나오네요?

즉, 허수를 제곱하면 음수가 될 수도 있지만 다시 허수가 될 수 있다는 소리입니다.

따라서 허수의 정의를 제곱하면 음수가 되는 수라고 하면 명백한 오류이고 틀린말입니다.

 

허수를 제곱을 이용해서 정의하려면 제곱해서 양수나 0이 되지 않는 수라고 표현하거나, 제곱해서 음수 또는 허수가 되는수라고 표현해야 합니다.

물론 정확히 허수는 '실수가 아닌 복소수'가 맞는 말입니다. (복소수는 실수+허수.. 즉, 실수와 허수 모두를 일컫는 말입니다.)

 

 

ⓑ 허수단위(i)의 순환성

i¹, i², i³, i⁴, i⁵ , i⁶  와 같이 계속 i의 제곱들을 구해가다보면 순환성을 발견하게 됩니다.

 

i ＝ i

i² ＝ -1

i³ ＝ -i

i⁴＝ 1

i⁵ ＝ i

i⁶ ＝ -1

i⁷ ＝ -i

i⁸ ＝ 1

i⁹ ＝ i

 

잘 보면 i의 차수가 올라가면서 계속 값이 4개씩 반복되고 있습니다.

4개씩 반복된다는 것은 i의 지수에다가 4를 더하거나 빼도 여전히 같은 값을 가진다는 소리입니다.

i ＝ i⁵ ＝ i⁹  처럼요. 

또, 더욱 중요한 것은

i⁴＝ 1라는 소리입니다.

이건 정말 무시무시한 소리입니다.

이 식에 양 변에 n제곱(n은 정수..)을 하면

 

4n이라는 소리는 4의 배수라는 뜻이기 때문에 은 i의 4의배수라는 뜻이잖아요?

그러니까 결국 이라는 소리는 i의 지수가 4의 배수라면 값이 무조건 1이라는 소리이니까

의 값을 구하라고 해도

라고 간단히 고칠 수 있는 겁니다.

 

이것을 쉽게 말하자면 지수가 4로나눈 나머지로 바꿀 수 있다라고 할 수 있어요.

그러니까 을 간단히 고치려고 한다면 지수인 103을 4로나눈 나머지인 3바꿔서  라고 쓸 수 있는거죠. 무슨 말인지 알겠죠?

 

ⓒ 허수의 성질

i ＝ i

i² ＝ -1

i³ ＝ -i

i⁴＝ 1

를 잘보시면

i와 i³는 부호만 서로 다르고,  i²와 i⁴ 또한 부호만 서로 다른 관계임을 알 수 있어요.

 

그러므로 

i+i³=0

i²+i⁴=0

라고 할 수 있어요.

따라서 지수가 2차이나게 더하면 무조건 0이라고 기억하시면 좋습니다.

어떻게 그것이 항상 성립하는지 이유를 아래의 예제로 설명하자면

그러므로 어떻게 i의 지수를 많이 올리던 결국 공통인수로 끌어낼 수 있으므로 지수가 2차이가 나면 무조건 값은 0이라고 생각하면 됩니다.

 

 

그리고

i의 1차부터 i의 4차까지의 합 또한 0이거든요. 이건 금방 눈치 채실겁니다.

i+i³=0, i²+i⁴=0

이니까

i+i²+i³+i4=0

가 되는 것이 당연하죠.

이걸 "지수가 연속된 정수일 때, 4개씩 묶으면 0이다. "라고 기억하시는것도 괜찮으실겁니다. (행렬에서도 비슷한게 나오거든요 ㅎ)

 

 

 

 

3. 복소수(complex number)  

ⓐ  z=a+bi

복소수는 실수 허수를 합쳐서 부르는 말입니다.

⇒ 복소수=실수+허수

(복소수를 허수라고 알고 있는 사람도 있는데 허수와 실수 모두 합쳐놓은 것이 복소수입니다.)

 

아까 허수를 라고 표현할 수 있다고 했었죠?

그런데 b=0이라면 실수가 되어버리니까 허수의 정의에서는 b≠0라는 조건이 있어야 한다고 했었죠?

그렇다면 실수를 a+bi의 형태로 정의하려면 라고 반대로 b=0라는 조건으로 바꿔주면 되는 겁니다.

 

그렇다면

실수와 허수 즉, 모든 복소수는 a+bi (a, b는실수)의 형태로 정의하려면 어떻게 해야 할까요?

b≠0라는 조건이나 b=0이라는 조건 모두를 넣지 않으면 됩니다.

다시말해, 복소수, 즉, 허수와 실수를 합친 모~든 수는 라고 정의할 수 있다는 겁니다.

(이렇게 하면 b가 0일수도 있고, b가 0이 아닐 수도 있으므로 허수와 실수 모두 표현이 가능하죠.)

 

 

그리고 이 복소수를 z라고 많이 표현하기 때문에

z=a+bi (a, b는 실수, i=√(-1))

이라고 많이 씁니다.

(a를 실수부, b를 허수부라고 합니다.)

 

ⓑ 켤레복소수

켤레복소수는 원래의 복소수에서 허수부의 부호를 바꾼 것입니다.

원래의 복소수가 z=a+bi였다면 켤레복소수는  처럼 z에 막대기(bar)를 추가해서 씁니다.

 

예를 들어

3+5i 의 켤레복소수는 3-5i가 되는 것이죠. (허수부의 부호를 바꾸는것 주의하세요.)

 

재밌는것은

복소수를 z=a+bi라고 하고 켤레복소수를 =a-bi라고 한다면

 

라는 신기한 식이 만들어 지므로 유의 깊게 살펴보세요.. ㅎ

 

 

※ 참고

z가 실수일 조건 b=0

z가 허수일 조건 b≠0

z가 순허수일 조건 a=0, b≠0

z가 순허수 = z²<0

 

 

 

예제)

z=x(x-1)+(x-1)(x-2)i

z²<0일 때, x를 구하면?

[풀이]

z²<0라는 소리는 z가 순허수라는 소리이므로 z=a+bi일 때, a=0, b≠0이므로 (→ 실수부는 0이되어야하고, 허수부의 계수는 0이 되면 안되므로)

x(x-1)=0, (x-1)(x-2)≠0

그러므로 x=0

이것을 순허수의 간접조건이라 한다 +_+

 

 

 

순허수의 간접조건

z²<0 (=제곱해서 음수가 되는 수)

 (단, z≠0)

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[출처] 제7장 수와 식 Ⅱ - 허수|작성자 SperoSpera