분수함수
분수함수란 분모에 x가 들어가는 식을 말합니다.
와 같이 말이죠. 해깔릴 것이 없지만.. 말해두자면, 
는 일차함수 입니다. 분모에 x가 들어가야 분수함수랍니다.
제가 예전에 언급한 태초의 상태라는 말 기억하시나요?
평행이동을 하지 않은 기본적인 상태의 함수를 뜻하는데요.(공식용어는 아닙니다.)
예를 들어, y=2x라던가 y=x²와 같이 평행이동되지 않은 아주 깨끗한 식의 기본적인 함수를 의미한다고 보시면 됩니다 ^^
만약 y=4x²-2x+9의 형태라면 y=4x²이 평행이동한 그래프인 것이기에 y=4x²를 y=4x²-2x+9의 태초의 상태라고 보면 됩니다.
x²+y²=4 이건 원이죠? 이 원은 중심이 원점이고 반지름이 2인 아주 깨끗한 함수이죠. 만약 이게 이동한다면 (x-1)²+(y+3)²=4이렇게 되기도하고
전개를 한다면(일반형이라고 하죠) x²+y²-2x+6y+6=0이런식으로도 바뀌기도 하죠.
어쨌든 평행이동되면 더러운 식으로 변하지만 태초의 상태란 식이 가장 깨끗한 상태, 평행이동되지 않은 상태를 의미합니다!
※ 태초의 상태는 0이라는 숫자와 밀접한 관계를 가집니다.
원의 태초의 상태 → 원의 중심이 원점(0,0)인 원
직선의 태초의 상태 → 원점을 지나는 직선
이차함수의 태초의 상태 → 꼭지점이 원점인 이차함수
분수함수의 태초의 상태 → 점근선의 교점이 원점인 분수함수
무리함수의 태초의 상태 → 시작점이 원점인 무리함수
이고요. 분수함수의 그래프 개형은 아래와 같이 두개의 종류가 있는데(정확하게 그린것은 아닙니다만 저런 모양으로 생겼습니다.)
a의 부호가 양수이면 아래 그래프 중 1, 3사분면을 지나는 왼쪽그래프가 되고
a의 부호가 음수라면 아래의 그래프 중 2, 4사분면을 지나는 오른쪽의 그래프가 됩니다.
그리고 위와 같이 태초의 그래프에서는
x가 0에 가까울수록 그래프는 점점 y축으로 달라붙고
x가 점점 커질수록 또는 점점 작아질수록 그래프는 점점 x축에 달라붙게 됩니다.
하지만!! 절대 x축이나 y축과 만나지는 않는데요.
이렇게 어떤 한 직선에 만나지는 않지만 점점 가까워지는 선이라고 하여 점근선이라고 합니다.
위의 분수함수의 그래프(태초의 상태에서)에서는 x축과 y축이 점근선이 되는 것이죠.
그리고 분자(a)가 0에 가까우면 가까울수록 점점 점근선에 붙고, 0에 멀면 멀수록 점근선과도 멀어지는 형태의 그래프가 됩니다. 아래의 그래프를 참고해주세요.
그런데 점근선이 두 개죠? 그래서 점근선의 교점이 존재하게 되는데
태초의 상태에서는 점근선의 교점이 x축과 y축의 교점이므로 원점이 바로 점근선의 교점이 됩니다. "( 0 , 0 )이 점근선의 교점!"
이 점근선의 교점이 중요한 이유는 점근선의 교점은 그 그래프의 정보를 담고있기 때문입니다.
위에서 보시다시피 점근선의 교점만 안다면 점근선을 그을 수 있으므로 그래프를 그릴 수 있다는 의미입니다.
다른말로 말하자면 분수함수에서 이 점근선의 교점을 안다는 것은 그래프의 위치를 알 수 있는것이므로 매우 중요한 것이지요.
(점근선의 교점과 그래프의 형태만 안다면 그래프를 그릴 수 있습니다.
또한 그래프를 그릴 수 있다는 것은 분수함수에서 정의역의 범위가 주어졌을 때, 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다는 이야기죠?)
그러므로 분수함수에서 뽑아내야할 정보는 바로 점근선의 교점과 그래프 형태입니다.
태초의 상태에서는 점근선의 교점이 원점이고, 그래프의 형태는 a의 값으로 결정됩니다.
의 분수함수의 그래프를 그리려고 한다면 점근선의 교점은 원점이고 그래프는 분자의 부호가 음수이므로 2사분면과 4사분면을 지나는 그래프가 되겠죠.
그런데 평행이동을 한 형태가 문제가 생기는 거에요.
평행이동이 어떤건지는 다 알고있나요? 예전 강에서도 설명했지만 평행이동은 그래프를 모양 변하게 하지 않고 위치만 이동시키는 거에요.
그래프를 x축방향으로 a만큼 y축 방향으로 b만큼 평행이동 시킨다면 그 그래프의 함수식의 x대신 (x-a)를 y대신 (y-b)를 대입시키면 평행이동된 그래프식이 나오는 겁니다. 기억나시죠?
그래서 만약
를 x축방향으로 3만큼 y축방향으로 -2만큼 평행이동한다면
이라는 함수식이 만들어 집니다. 맞죠?여기서 평행이동된 식을 보고 바로 점근선의 교점과 그래프 형태를 뽑아낼 수 있어야 합니다.
그래프의 형태는 평행이동한다고 변하는게 아니기 때문에 그대로 분자가 양수인지 음수인지 보면 알 수 있고요.
점근선의 교점의 x, y좌표를 알아야 하는데
점근선의 교점의 x좌표는 분모를 0으로 만드는 x값이고 점근선의 교점의 y좌표는 우변 맨 마지막에 붙어있는 상수항이라고 외우시면 됩니다.
왜 그런건지는 잘 아시죠?
라는 식 옆에 아무것도 안붙고 분모에도 x만 있었잖아요. 그런데 태초의 상태에서는 원점이 점근선의 교점이 되는데 평행이동을 하게 되면 식이 변하잖아요? 변한 흔적이 쉽게 보일거에요.
라는 식에서
)는 분모와 옆에 붙은 식으로가 x방향으로 3만큼, y방향으로 -2만큼 평행이동했다는 것을 쉽게 알 수 있지요. 그래프가 x방향으로 3, y방향으로 -2만큼 평행이동했다는 그 말은 점근선도 x방향으로 3, y방향으로 -2만큼 평행이동했다는 뜻이며
그러므로 점근선의 교점도 ( 0 , 0 )에서 x방향으로 3, y방향으로 -2만큼 평행이동했으므로 ( 3 , -2 )가 점근선의 교점이 된다는 뜻입니다.
결론 : 점근선의 교점의 x좌표는 분모를 0으로 만드는 x값이고 점근선의 교점의 y좌표는 우변 맨 마지막에 붙어있는 상수항
그래프의 형태는 분자의 부호
그런데 통분이란 말 아세요?
아시겠죠 그럼요
에서 분수와 상수항과 통분한다면 어떻게 될까요?
보았듯이 하고싶었던 말은 통분을 한 경우도 많이 나오는데 이럴 경우에는 점근선의 교점과 그래프의 형태를 한번에 뽑아내기 어렵다는 소리입니다.
결론만 말씀드리면
점근선의 교점의 x좌표는 똑같이 분모를 0으로 만드는 x값이며, 교점의 y좌표는 분모의 x좌표분의 분자의 x좌표입니다.
이것은 분자의 식을 분모로 나누면 쉽게 왜그런지 알 수 있는데요..
이 나눈다는 것은 숫자를 숫자로만 나누어도 되지만 식으로도 나누어도 되거든요?
이른바 다항식의 나눗셈이라고 합니다.
추후에 이것은 설명할 내용이므로.. 생략할게요.
정리
분수함수 : 분모에 x에 관한 식이 있는 함수
그래프 개형
정의역 : 0이 아닌 모든 실수(0을 제외한 모든 실수)
치역 : 0이 아닌 모든 실수(0을 제외한 모든 실수)
(점근선의 교점의 x와 y값에서 정의역과 치역이 존재하지 않는다.)
에서 a가 0으로 가까우면 가까울수록 점근선에 더 붙는 그래프가 그려진다.
[출처] 제9강 분수함수|작성자 SperoSpera