우함수와 기함수
우함수를 영어로 even함수라고 해요. even의 뜻은 '짝수'죠?그래서 우함수를 짝함수라고도 합니다~
기함수는 영어로 odd라고 하는데 '기묘한'이라는 뜻도 있지만 홀수의 뜻도 있어서 기함수를 홀함수라고도 합니다.
우함수는 y축대칭의 형태를 가지는 함수를 의미하고, 기함수는 원점대칭의 형태를 가지는 함수를 의미합니다.
(우함수는 좌'우'가 같은 y축대칭형태이라고 외우면 되고, 기함수는 '기'이하게 원점대칭형태의 그래프라고 외우면 좀 나을겁니다.)
그런데 모든함수가 y대칭과 원점대칭은 아니잖아요? 그러니까 모든 함수가 우함수와 기함수로 나뉘는것이 아니라
함수는 우함수일수도 있고, 기함수일수도 있지만 그냥 둘 다 해당되지 않는 함수도 있다는 뜻입니다.
게다가 대부분의 함수는 우함수도 아니고 기함수도 아니에요.
대표적인 우함수는 짝수차함수(이차함수, 사차함수, 육차함수 등)중에 평행이동 안된 기본형태와 상수함수랑
다음강에 배울 삼각함수의 cos함수도 기본적으로는 우함수입니다.
y= x²
y= x⁴
y= x²ⁿ
y=3
y=2
y=a (a는 상수)
y=cosx
y=|x|
등
대표적인 기함수는 홀수차함수(1차함수, 3차함수 등)중에 기본형태와 y=x(항등함수),
삼각함수의 sin함수, tan함수가 기본적으로 기함수입니다.
y=x
y=x³
y=x
y=sinx
y=tanx
등
우함수와 기함수는 그래프의 형태로 구별하므로 일단 그래프를 그려볼수만 있다면
그 함수가 우함수인지 아니면 기함수인지 아니면 둘 다 해당되지 않는 일반적인 함수인지 알수가 있겠죠.
그러나 우리가 모든 함수식의 그래프를 다 그릴 수 있는 것은 아니잖아요? 미분을 공부하면 개략적으로 전부 다 그릴 수 있긴 한데 아직 안배웠잖아요?
따라서 그래프를 그리지 않더라도, 함수식만 보고도 기함수인지 우함수인지 알 수 있어야 하며, 바로 모르더라도 함수식을 이용해 기함수인지 우함수인지 아무것도 아닌 함수인지는 판별할 수 있어야 합니다.
먼저 우함수인 임의의 함수 f(x)가 아래의 그래프를 만족한다고 합시다!
우함수는 y축과의 대칭형으로 생겼기 때문에, x가 3일때의 y값과 x가 -3일 때의 y값, 즉, f(3)과 f(-3)은 서로 같을 수 밖에 없습니다.
따라서 이것을 f(3)=f(-3)이라고 표현 할 수 있고
일반화하기 위해 숫자를 x로 표현하면 f(x)=f(-x)를 만족하는 함수가 우함수를 의미하는 것이라는 것을 알 수 있지요.
이제는 기함수인 임의의 함수를 f(x)라고 하고 그 함수의 그래프를 아래와 같다고 합시다!
기함수는 원점대칭형으로 생긴 그래프이기 때문에,
x가 3일 때의 y값과 x가 -3일 때의 y값인 f(3)과 f(-3)은 서로 절댓값이 같고 서로 부호만 다른 값이 됩니다.
만일 f(3)의 값이 1이라면 f(-3)의 값은 절댓값이 같고 부호가 다른 -1이 되는겁니다.
즉, 절대값이 같고 부호가 다른 수3, -3에 대해서 f(3)과 f(-3)또한 절대값이 같고 부호가 다른 관계가 되므로
f(-3) = -f(3)이라고 표현이 가능합니다. 맞죠?
일반화 하면 f(-x) = -f(x)를 만족하는 함수가 기함수라는 것을 알 수 있겠지요.
따라서, 정리하면 기함수와 우함수는 각각 원점대칭형, y축대칭형으로 생겼기 때문에 기하학적 특이한 규칙이 생기는데요.
우함수는 f(-x) = f(x)를 항상 만족하며
기함수는 f(-x) = -f(x)를 항상 만족합니다. ( -f(x)를 좌변으로 넘겨 f(-x)+f(x)=0이라고도 할 수 있으므로 주의 )
그러므로 만약 f(x)가 주어졌을 때, 우함수인지 기함수인지 아무것도 아닌 함수인지 알고자 한다면
f(x)의 x에 -x를 대입했을 때,
그 결과의 식 f(-x)가 원래의 식인 f(x)와 똑같은 식을 가지면 우함수가 되고
f(-x)가 f(x)와 부호만 반대인 식을 가진다면 기함수가 된다는 것이며
f(-x)가 f(x)와 똑같지도 않고, 부호만 다른 관계도 아니라면 기함수도 우함수도 아니라는 것이죠.
예를 들어, 만약 f(x) = 2x² - 3이라면 이 기함수인지 우함수인지 아무것도 아닌지 보려고 한다면 f(-x)를 구하면 되므로
x대신 -x를 대입하면,
f(-x) = 2(-x)² - 3
= 2x² - 3
(∵ (-x)² = x² )
∴ f(-x)=f(x)이므로
f(x)는 우함수이다.
또, f(x) = x³ - sinx가 기함수인지 우함수인지 묻는다면 역시 f(-x)를 구해보면 되므로 x대신 -x를 대입하면
f(-x) = (-x)³ - sin(-x) 정리하면
= -x³ + sinx (∵ (-x)³= x³ , 음각공식에 의해 sin(-x)=-sinx)
f(-x)와 f(x)와의 관계는 부호만 바꾼 관계이므로 (f(x) = x³ - sinx이므로 -f(x) = -x³ + sinx)
f(x)는 기함수이다.
한가지 팁을 주자면
만약 어떤 함수 f(x)의 각 항들이 전부 우함수라면 f(x)는 우함수가 되고, 각 항이 전부 기함수라면 f(x)는 기함수가 됩니다.
예를 들어 함수f가 f(x) = x² + cosx + |x| 를 만족한다면 각 항 x²과 cosx와 |x|는 각각 우함수이므로 f(x)도 우함수라고 말 할 수 있는것죠.
만약 f(x)의 항들이 기함수와 우함수가 섞여있다면 그건 우함수도 기함수도 아닌 아무것도 아닌 함수가 됩니다.
물론 이게 만능열쇠는 아닙니다.
의 각 항은 우함수도, 기함수도 아니지만(모르면 통과) f(x)대신 f(-x)를 구하면 
가 되는데 결국 같은 식이므로 우함수가 되죠.
가장 확실한 방법은 f(x)의 x에 -x를 대입하는 방법이지요.
(2) 우함수와 기함수의 곱셈과 합성함수
곱셈에 관해서 우함수와 기함수의 신기한 것이 있는데요
우함수와 우함수를 곱한 꼴이던
기함수와 기함수를 곱한 꼴이던
우함수와 기함수를 곱한 꼴이던
각각이 식에 따라 다른 값이 나오는 것이 아니라
우함수×우함수=우함수
우함수×기함수=기함수
기함수×기함수=우함수
라고 정해져 있어요.
예를 들어서 기함수인 x와 우함수인 x²을 서로 곱하면 x³이 되니까 기함수가 되죠.
굳이 외울 필요는 없는데요. 그 이유는 직접 해보면 알거든요. 기함수 중에서 가장 간단한 꼴인 홀수차함수와 우함수중에서 가장 간단한 꼴인 짝수차함수를 이용해 풀어보면 금방 구할 수 있잖아요?
외워도 상관은 없지만 궁금할 때 살짝살짝 직접 해보면 쉽게 구할 수 있습니다.
다음으로, 기함수와 우함수에 관해서 함성함수 또한 곱셈과 마찬가지로 항상 정해져 있답니다.
라고 정해져 있는데요
이것 역시 대표적인 홀수차함수와 짝수차함수로 금방 구할 수 있답니다.
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그런데 간혹 합성함수에 대해서 해깔리는 사람이 있어서 언급해드릴게요.
정리
우함수 : f(-x) = f(x)를 만족하는 함수
기함수 : f(-x) = -f(x)를 만족하는 함수 ⇒ f(-x)+f(x)=0
[출처] 제11장 우함수와 기함수|작성자 SperoSpera