삼각비의 정의

삼각함수

(1) 삼각비의 정의

 

 <삼각비의 정의와 직각삼각형>

 

삼각비란 "직각삼각형에서 세 변중 어느 두 변의 길이의 비"입니다.

직각삼각형은 변이 몇개가 있을까요. 3개죠.

각은 몇개가 있어요? 역시 3개가 있죠,

 

직각삼각형은

세 각중 하나의 각이 직각으로 이루어져있고

나머지 두 각은 예각이다. 이렇게 이야기 하죠.

모든 삼각형의 내각의 합은 180˚인데

왼쪽에서 보면 이미 하나의 각이 90˚이니까

나머지 두 각을 합쳐야 90이까 예각일 수 밖에 없잖아요

(참고 : 예각은 90도를 넘지 않는(=직각보다 작은) 각을 의미하고, 둔각은 직각보다 큰 각을 의미하죠.)

 

 

아무튼 직각삼각형의 세 변에서 항상 정해져있는 변이 있어요.

직각과 마주보게 되는 직각삼각형에서 제일 긴변을 '빗변'이라고 합니다.

항상 이름이 일정하게 정해진 변은 빗변 하나밖에 없습니다.

 

 

 

 

 

밑변과 높이도 배웠었죠?  기준을 잡는 각에 따라 변합니다. 아래와 같이요.

굳이 외우실 필요는 없습니다. 절대적인 이름을 가지고 있는 것은 빗변밖에 없으니까요.

 

 

 

 

 

 

 

<삼각비>

 

삼각비를 처음에 설명했는데요.

삼각비란 "직각삼각형에서 세 변중 어느 두 변의 길이의 비"라고 했습니다.

'비'라고 하는것은 비율이니까 결국 분수거든요?

그러니까 예를 들어서, 왼쪽의 직각삼각형이 주어져 있을 때,

각각의 두개의 변을 뽑아서 분수로 만들면 총 6가지가 나오는데요,

 

이 분수를 전부 삼각비라고 부릅니다.

 

그런데 이 6개의 삼각비중에 가장 수학적으로 중요한 3가지를

sin[싸인], cos[코싸인], tan[탄젠트]라고 부릅니다. 

덜 중요한 세가지는 뭐냐면

cosec(=csc)[코씨컨트], sec[시컨트], cot[코탄젠트]인데

문과과정에서는 빠졌습니다. 문과는 이런게 있구나 생각하시면 됩니다.

 

이과들에게만 알려드리면

sin, cos, tan의 역수의 형태가 각각 cosec, sec, cot가 됩니다. (주의 역수이지 역함수가 아닙니다.)

 

수식으로 표현!

 

 

 

 

 

 

 

<sin과 cos과 tan>

 

 

이제부터 sin, cos, tan를 공부할텐데

 

그냥 영어모양이나 위치로만 외우려고 하면 도형의 모향이 항상 똑같이 나오지 않으니까 뒤집어서나오거나 다르게 나오면 해깔리거든요.

좀 약빤것 같이 보일지는 모르겠지만 저는 조금 다르게 설명하려고 합니다.

아이가 세타쪽에 서있고, 엄마는 직각쪽에 서있어요. 아래처럼요.

여기서 아이가 엄마쪽으로 가야한답니다.

 

 

 

그런데 싸인이라는 어린이는 좀 멍청해요. 그냥 아래쪽으로 엄마를 만나러 가면 되는데 굳이 고개를 넘어서 엄마한테 가는거죠. 미끄럼틀타나?

한마디로 싸인은 고개넘어 직각으로! (지나온 길을 분모, 분자 순서로 쓰면 되요) 

 

 

 

 

 

탄젠트는요. 싸인보다 똑똑해요ㅋ.. 세타에서 다이렉트로 직각쪽으로 가요. 뭔가 지나쳐가는것같기도한데

 

 

 

탄젠트는 세타에서 직각으로 타이렉트로!  

 

 

 

코싸인은 좀 특이해요.. 음각공식에도, 미분, 우함수/기함수에서도 배우겠지만 코가 붙으면 좀 특이해져요 ㅋㅋ

코싸인은요.. 세타를 사이에 두고 직각으로 간답니다.

다시다시!! 세타를 사이에 두고 직각으로 가는 것을 코싸인세타(cosθ)라고 해요.

 

 

 

 

 

 

 

 

다시 정리하면

싸인은 세타에서 고개넘어 직각으로

코싸인은 세타를 사이에 두고 직각으로

탄젠트는 세타에서 다이렉트로 직각으로

 

 

 

아래의 삼각형에서 싸인, 코싸인 탄젠트를 구해볼까요.

 

sinθ = θ에서 직각으로 가야하는데 고개넘어 직각이므로

 

⇒ sinθ =  

 

 

 

 

 

 

cosθ = θ를 사이에두고 직각으로 가야하므로

⇒ cosθ = 

 

 

 

 

 

 

tanθ = θ에서 바로 직각으로 가므로

⇒ tanθ =  

 

 

 

 

<tan와 sin/cos의 관계>

 

 

 

왼쪽의 도형에서 sinθ는  이고, cosθ는 이고, tanθ는 이죠?

그런데 싸인과 코싸인을 잘 보면, 분모 c는 공통이고 분자는 각각 b와 a로 이루어있지요.

거기서 의 모양으로 분수를 만들면 c가 약분되어 가 만들어 지는데

tanθ도 이므로 결국 코싸인분의 싸인은 탄젠트와 같다는 이야기입니다!!

 

 

 

중요합니다!!

학교에서 배운 한자성어 갑골난망이라던가 지피지기라던가

결초보은 그리고 또 다른 하나는 코부네싸 (코싸인분의 싸인) 이런식으로 사자성어처럼 외우시길 바랍니다. ㅋㅋ

 

 

 

 

# 특수각 - 특수한 각으로 다른 각도보다 특별히 수학적으로 의미있는 각을 의미합니다. 0도 30도, 45도, 60도, 90도, 120도,150도, 180도, 300도, 360도 등

 

<암기해야하는 특수각의 삼각비>

30˚, 45˚, 60˚일 때의 삼각비정도는 완벽히 외워야 하는데 이와 관련된 삼각형은 중학교 3학년때 배운답니다.

 

이 직각이등변삼각형과 정삼각형을 이등분한 삼각형(각도를 따서 369삼각형이라고 부릅시다.)의 변의 길이의 비는 암기하시고 계셔야 합니다.

그런데 외울때는 항상 변의 길이가 짧은 순으로 외워야 합니다.

직각이등변삼각형은 길이의 비가입니다.

369삼각형의 길이의 비는 입니다.

 

변의 길이가 짧은 순으로 외우는 까닭은 변의 길이의 순서는 각의 크기의 순서와 일치하게 되거든요.

예를 들어, 369삼각형의 길이의 비가 라고 했는데 각각 그 순서대로 대응하는 변의 대각은 30˚:60˚:90˚가 된답니다.

이것은 도형에 관련된 문제에서 도움을 받을 수 있으므로 잘 기억해 주시길 바랍니다~

 

정삼각형의 길이의 비는 당연히 1:1:1이라 중요하지는 않지만, 한 변을 알고있을 때, 높이와 넓이를 구할 수 있어야 합니다.

구하는 과정은 정삼각형을 반으로 쪼개서 피타고라스의 법칙을 이용하면 높이를 구할 수 있고 높이를 구하면 넓이는 껌이니까

스스로 해보시고 결과를 외워주세요.

 

→ 정삼각형에서 한 변의 길이가 a일 때의 높이와 넓이

 

 

어쨌든 저 위의 직각이등변삼각형과 369삼각형을 이용하면 특수각의 삼각비를 구할 수 있는데요.

cos60˚, sin45˚, tan30을 한번 구해보세요. 기억나시나요?

cos60˚는 60˚를 사이에 끼고 직각으로 가야하는 것이므로 369삼각형에서 이라는 것을 알 수 있죠.

 

아무튼 sin과 cos, tan를 30˚, 45˚,  60˚의 값을 아래의 표를 보고 각각 외워야 합니다.

 

	30˚	45˚	60˚
sin
cos
tan

 

 

쉽게 외우는 법을 소개시켜드릴게요.

sin과 cos은 분모는 전부 2가 되기 때문에 분자만 생각하면 되요.

각도가 낮은 순서대로 sin은 분자가 각각 1, 2, 3이고, cos은 3, 2, 1인데, 각각 루트씌워주면 됩니다.

그러니까 cos45˚는 일단 분모가 2가 되고 분자를 생각해야 하는데 45˚는 각도가 30, 45, 60중에 두번째니까 루트2를 분자에 쓰면, 2분의 루트2가 답!

하나하나 다 외우지 말고 표 자체의 순서대로 생각해서 외우시면 된다는 말입니다.

 

단, 탄젠트의 45˚값은 1이 되는데 1을 기준으로 √3을 가지고 놀았다라고 생각하시면 됩니다. tan 60˚는 √3, tan 30˚는 역수

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정리

 

직각삼각형 : 한 변이 직각이고 나머지 두 변이 예각인 삼각형

빗변 : 직각삼각형에서 제일 긴 변, 직각을 마주보는 변(=직각의 대변)

삼각비 : 직각삼각형에서 서로다른 두 변의 비(분수로 표현됨)

sin세타 : 세타에서 고개넘어 직각으로

cos세타 : 세타를 사이에 두고 직각으로

tan세타 : 세타에서 다이렉트로 직각으로

 

길이의 비 =                    

 

 

 

정삼각형의 한 변이 a일 때, 높이와 넓이의 길이

 

 

특수각에 대한 삼각비

	30˚	45˚	60˚
sin
cos
tan

 

[출처] 제12장 삼각함수 - (1) 삼각비의 정의|작성자 SperoSpera