삼각함수
(2) 라디안(호도법) : 각의 표현
삼각함수의 기초는 전 포스트에서 끝났습니다.
삼각함수는 결국 함수이므로 그래프로 표현이 가능해야 합니다.
결국 아래와 같은 형태의 함수를 좌표평면에 그래프로 표현해야 합니다.
y=sinx
y=cosx
y=tanx
하지만,
sinx나 cosx, tanx의 x에 각도를 넣으려고 했을 때, 한가지 의문점을 느껴야 합니다.
우리가 여태까지 배워온 함수에서는 x에는 항상 실수만 넣어왔었습니다.
이것은 x를 각도가 아닌 실수인 변수로 정의했기 때문입니다.
x에 각도를 넣어서 함수를 표현할 수도 있겠지만
그렇게 된다면 다른 함수들과 교점이나 이런 것들의 표현이 제한되어집니다.
다른 대부분의 함수는 실수로 표현되기 때문이죠.
그렇기 때문에 수학자는 각도를 실수로 정의할 필요성을 느끼게 됐고,
문제는 각도는 기울어진 정도인데 이게 어떻게 숫자로 바뀌어 써 넣느냐! 이겁니다.
그 해답은
어떤 특정한 각도를 "1"이라고 잡기만 한다면
바꿔말해, 1이라는 실수를 어떤 각도로 정의시키기만 한다면
모든 각도를 숫자로 표현이 가능하므로 수학자들은 좋은 수가 없나 머리를 쥐어 짜기 시작했지요.
그 결과, 1이라는 실수를 어떻게 정의했냐면
반지름이 r인 임의의 원이 있다고 한다면 이 임의의 원에서 항상 변하지 않는것이 있습니다.
그것은 반지름이 r이라는 사실입니다.
반지름이 r일 때,
r의 길이와 같은 직선을 곡선으로 구부려 원 위에 놓습니다.
이 때, 만들어지는 부채꼴의 중심의 각인 약 57.xx˚를 실수 "1"로 정의했습니다!!
이 각은 r이 변한다고해도 항상 일정하게됩니다.
즉, 수학적으로 간단히 말하자면
부채꼴의 호와 반지름이 같을 때 만들어지는 각도 약 57˚를 "1"로 정의하게 된다는 것입니다.
이 정의방법을 위에서 우리가 반지름을 이용한 방법으로 정의했기 때문에 반지름의 radius에서 따와
radian(라디안)이라고 말합니다.
그래서 제가 아까 위에서 약57˚의 각을 숫자 "1"로 정의한다고 했지만
정확하게는 약 57˚각도를 "1라디안"으로 정의했다고 보는 것이 더 옳바른 표현입니다.
물론, 라디안은 생략하고 1, 2라고 써도 상관은 없지만요.
어쨌든 말입니다.
혹시.. 이상한 점 눈치채지 못하셨나요?
왜 딱 60˚도 아니고 57.xxxx˚의 각도를 1라디안으로 정했을까요.
그 답은 아래에 있습니다.
일단 아까 우리가 했던 것처럼
반지름을 구부려 3개까지 원 위에 붙입니다. (아래 그림 참조)
3개까지 붙였을 때 생기는 부채꼴의 중심각은 "3"이 됩니다. 이해가나요?
3라디안은 180˚에 미치치 못합니다. 즉, 180˚보다 작은 값입니다.
그렇다면 180˚를 숫자로 표현하면 몇으로 나올까요?
옛날 사람들은 갖가지 방법으로 구하려고 했으나
현대인인 우리는 컴퓨터로 구해보면! 3.141592..로 나아가는 무리수가 180˚를 나타내는 숫자임을 구할 수 있습니다.
3.141592...로 나아가는 무리수는 우리가 과거에 배웠던 π(파이)랑 같은 숫자를 뜻합니다.
다시말해, 180˚가 3.1415926....인 π라는 숫자이므로 아래와 같이 각도를 라디안으로 바꿔 표현할 수 있게됩니다.
180도가 파이인것만 정확하게 알면 모두 쉽게 구할 수 있지만
여기서 특수각인 60˚/45˚/30˚의 각은 바로바로 바꿀 수 있도록 암기하셔야 합니다.
45도는 4분의 파이니 쉬울거고
63빌딩 아시죠? 60도는 3분의 파이이고, 30도는 6분의 파이랍니다. 무슨소리이신줄 아셨나요 ㅎㅎ