각바꾸기 공식

각바꾸기 공식 

<음각공식>

sin30˚의 값은 ½입니다. 저번에 다 외우셨나요?

이것을 삼각함수의 정의로 해석해보세요.

단위원과 30˚의 동경과의 교점의 y좌표가 ½이라는 소리입니다.

 

30˚가 시초선에서 양의(반시계) 방향으로 이동한 것이라면 -30˚는 시초선에서 음의(시계)방향으로 이동한 것입니다.

즉, 각도에서 -의 의미는 방향을 의미하는 것이지 각도의 크기는 같습니다.

따라서 sin30˚의 값이 ½이라면  sin-30˚는 -½이 됩니다. (sin은 단위원과의 교점의 y좌표!)

아래의 그림이 이해가 되나요?

 

→   sin30˚가 ½이라면 sin-30˚와의 y의 길이는 같으므로 -½이 됩니다.

 

즉, sin-30˚ = - sin30˚의 의미를 지닙니다.

 

 

이번에는 cos30˚를 구해볼까요?

cos30˚은 암기했다시피 입니다. (특수각의 삼각비는 반드시 외워야합니다.)

정의에 따르면 코싸인30도의 값은 단위원과 30도의 동경과의 교점의 x좌표입니다.

그런데 코싸인-30도의 값은 단위원과 -30도의 동경과의 교점의 x좌표인데.. 아래의 그림을 보면

cos30˚와 cos-30˚는 값이 같음을 알 수 있습니다.

즉, cos(-30˚)=cos30˚의 의미를 가집니다.

 

tan30˚도 생각해 볼텐데요.

 

tan는 코싸인과 싸인의 분수형태이기 때문에 아래와 같이 유도가 가능합니다.

 

결국 tan(-30˚)=-tan30˚의 의미입니다.

 

 

이것을 일반화 시킨것이 음각공식이라는 것입니다.

 

 

싸인과 탄젠트는 -를 밖으로 배출하지만 코싸인은 삼킨다라고 기억하시면 기억에 더 오래 남으실것 같습니다. ^^

 

 

 

 

< 90˚공식 (여각공식) >

 

여각관계란 두 각을 합이 90˚가 되는 관계를 의미합니다. 예를 들어, 30˚의 여각은 60°이고, 120°의 여각은 -30°, -45°의 여각은 135°입니다.

이러한 여각관계는 직각삼각형에서도 잘 나타납니다 ^^ (여각이라고 하는 이유도 직각삼각형과 관련이 깊어요)

위의 직각삼각형에서 세 개의 내각의 합은 180˚인데 하나의 내각이 직각(90˚)이므로 직각을 제외한 두 각 α , β의 합은 90˚가 됩니다.

즉, α , β는 서로 여각관계인 것이 되는 것이지요.

또, 직각삼각형에서 90˚를 빼고 남은 각의 합이 90˚이기에, 남는다는 의미 한자인 여(餘 :남을 여)를 써서 여각관계라고 하는 거랍니다.

 

그런데 여각관계에서 sin과 cos의 독특한 성질이 있는데요.

sinα와 cosβ를 구해볼까요?

sinα는 α에서 고개넘어 직각으로 가므로 

cosβ은 β를 사이에두고 빗변에서 직각으로 가므로 

결국 sinα와 cosβ은 같은 값이 나옵니다.

 

 

그러니까 만약 두 개의 각이 있는데 그 각끼리의 합이 90˚(즉, 여각관계)라면,

그 각의 sin과 cos의 값은 두 각의 합이 90˚가 되면 값이 같게 된다는 뜻입니다.

이것을 암기하는건데

 

 

어떻게 암기하느냐!!!

"싸인과 코싸인은 각을 합해서 90도가 되면 값은 같다."

→ sin★ = cos■  ( ★+■=90˚ )

이렇게 함기합시다!

뭐라고요? 싸인과 코싸인의 각을 합해서 90˚가 되면 값은 같다고요.

 

그렇다면!!.. 다음의 등식이 있을 때, 빈칸의 알맞은 답을 구해보세요

 

→ sin120˚ = cos □ (단, 0˚≤□≤360˚)

[풀이] 싸인과 코싸인의 값이 같죠?

그렇다면 두 각의 합이 90˚이 되야하죠!

sin의 각이 120˚이므로

cos의 각은 -30˚가 되어야 각의 합이 90˚가 되야 합니다.

즉, cos(-30˚)이므로 □=-30˚입니다.

하지만 문제에서 0˚≤□≤360˚라는 조건이 있으므로

cos-30˚=cos30˚라는 음각공식을 사용하여

답이 30˚임을 알 수 있습니다.

(라디안으로는 이죠.)

 

 

또, 그렇다면 아래의 문제도 풀 수 있겠죠

 

→sin150˚의 값을 구해보세요.

[풀이] sin150˚는 각이 cos과 각의 합이 90˚가 되어야 값이 같으므로

sin150˚는 cos(-60˚)와 값이 같지요.

즉, sin150˚=cos(-60˚)라는 소리인데, cos의 -60˚값은 외운적이 없지요.

그러므로 cos(-60˚)에서 음각공식에 의해 -를 삼키므로

결국 cos60˚와 같다는 것을 찾을 수 있습니다.

cos60˚은 예전 특수각의 삼각비에서 배웠었죠.

답은 

 

 

 

 

< 180도 공식 (보각공식) >

보각이란 두 각을 합쳐서 180˚가 되는 관계를 의미해요.

예컨데, 120˚의 보각은 60이겠죠.

보각의 말뜻은 보충하다의 의미의 보(補 : 보충할 보)를 사용해서 랍니다.

 

결론부터 이야기하자면

"싸인과 싸인은 각을 합해 180˚가 되면 값은 같다." 입니다.

그 이유는

위에는 각각 30도, 150도의 2개의 동경이 존재합니다.

sin의 정의는 동경과 단위원과의 교점의 y좌표입니다.

그런데 150˚의 동경과 30˚의 동경은 위에 보시다시피 y축을 기준으로 대칭입니다.

그 말은 30도와 150도의 동경과 단위원의 교점끼리는 y축이 같다는 소리이고, y축이 같다는 소리는 sin의 값이 같다는 말입니다.

 

정리하면 두 동격의 각의 합이 180˚가 되면 y축을 기준으로 대칭형으로 생길수 밖에 없으므로

sin과 sin은 각을합해 180˚가 되면 값은 같게 됩니다.

→ sin★ = sin□  (★ + □ = 180˚)

 

 

 

 

< 360˚ 공식 >

 

결론부터 이야기하자면

cos과 cos은 각을합해 360˚가 되면 값은 같게 됩니다.

→ cos★ = cos□  (★ + □ = 360˚)

 

 

x축을 기준으로 대칭이 되기 위해서는 각을 합해 360˚가 될 수 밖에 없습니다.

그냥 이해만 하시고 넘어가시면 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

< 주기 공식 >

 

공식이랄것도 없는데

어떤 각이던 360˚를 더하건 빼건 각도는 언제나 같다는 공식인데

당연히 그렇습니다.

만약 360˚를 돈다는 것은

한바퀴를 돈다는 뜻이죠?

360˚를 돈다는 것은 결국 제자리로 돌아옵니다.

 

→

 

 

 

 

정리

 

<음각공식 >

 

 

 

<90도/180도/360도 공식>

 

"싸인과 코싸인은 각을 합해서 90도가 되면 값은 같다."

→ sin★ = cos□  ( ★ + □ =90˚ )

sin과 sin은 각을합해 180˚가 되면 값은 같게 됩니다.

→ sin★ = sin□  ( ★ + □ = 180˚ )

cos과 cos은 각을합해 360˚가 되면 값은 같게 됩니다.

→ cos★ = cos□  ( ★ + □ = 360˚ )

 

그런데 180도공식의 주인공은 sin입니다.

하지만 sin외에 cos이나 tan또한 이 공식을 사용할 수 있긴 합니다.

그러나 주인공은 sin이므로 cos이나 tan가 이 공식을 이용하려면 전체에 "-"를 붙여줘야 합니다.

 

예를 들어, sin225˚는 180˚공식을 이용하면 각을 합해 180˚가 되어야 하므로, sin(-45˚)와 같다는 것을 구할 수 있지요.

cos225˚또한 180도 공식을 이용할 수 있는데 이용한 다음에, 전체에 -만 붙여주면 됩니다!

즉, cos225˚이 180도 공식을 이용하면 각을 합해 180˚가 되야하므로 cos(-45˚)가 나오는데 여기서 전체에 -를 붙여줘야하므로

cos225˚을 180도 공식을 사용하면 -cos(-45˚)가 됨을 알 수 있지요.

 

 360도 공식도 마찬가지로 cos이 주인공이지만 다른 놈도 전체에 -를 붙여주어 사용할 수 있답니다.

 

 

<주기공식>

 

 

 

이과생을 위해

sin★ = cos□  ( ★+□=90˚ )  이 공식과 짝을 이루는 공식이 있습니다.

tan★ = cot□  ( ★+□=90˚ ) → 탄젠트와 코탄젠트도 각을 합해 90˚가 되면 값은 같습니다.

싸인과 코싸인이 각을 합해서 90˚가 되면 값은 같고, 탄젠트와 코탄젠트도 그러하다 라고 외우시면 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

심화 문제!!

 

1. [나]에 들어갈 것은? 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(풀이)

가 90˚인 것은 아시죠?

즉, sin(90˚-x) = cos( [나] )로 바꿀 수 있는데 (굳이 안바꿔도 풀 수 있어야 합니다.)

sin과 cos이 같으려면 각을 합해서 90˚()가 되어야 하므로

[나]의 값이 x여야 두 각의 합이 90˚()가 됩니다.

답은 x

 

 

 

 

 

2. 각 꼭지점이 A+B+C=π일 때, [다]에 들어갈 것은?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(풀이)

A+B+C=π의 양 변을 2로 나누면

가 됩니다.

에서

싸인과 코싸인은 각을 합해  가 되어야 하므로

[다]에 들어갈 것은 가 됩니다.

답은 

 

 

 

 

3. △ABC의 각을 A, B, C라고 할 때,

를 만족한다고 한다.

[가]를 구하면?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(풀이)

△ABC의 각이 A, B, C이므로 A+B+C=π (180˚)가 만족한다. 

 그런데 라고 했다.

코싸인과 코싸인이 같으려면 각을 합해서 360˚가 되도 되지만

180˚공식을 사용해도 되는거 아시죠? 전체에 -붙이면 cos도 사용가능합니다~ 이거 안까먹으셨기를..

의 cos( [가] )를 우변에 이항해보자.

가 되죠.

싸인은 각을 합해서 180도가 되면 값이 같은데, 전체에 -만 붙이면 코싸인도 사용가능하므로

[가]에 C를 넣으면 완벽하게 성립하게 된다.

왜냐하면 A+B와 C를 더하면 180˚가 되는데 -도 붙여있으므로 코싸인도 사용 가능하게 되어있지요.

아다리가 척척맞죠.

[출처] 제12장 삼각함수 - (4) 각바꾸기 공식 |작성자 SperoSpera