삼각함수의 그래프 Ⅱ

저번에는 y=sinx, y=cosx, y=tanx의 그래프를 그렸는데 좀 더 자세하게 삼각함수의 그래프를 파해쳐 보려고 합니다.

<복습>

 

 

 

다 기억나시죠?

 

위의 세가지 그래프는 기본이므로 반드시 머리속에 입력해 놓아야 합니다.

 

 

 

 

ⓐ  / y=sin(-x)

sin전체에 -가 붙어있는 형태인데

이것은 어떤 형태로 그려질까?

대칭이동이라는 것은 안느껴지십니까? 양 변에 -1을 곱하면 -y=sinx이 됩니다.

x축 대칭인게 보이십니까? y의 부호를 바꾸면 x축대칭이동이고, x의 부호를 바꾸는게 y축대칭이잖아요? (대칭하고자 하는 상대방의 부호를 바꾸는것이죠)

즉, y=-sinx는 y=sinx를 x축대칭해서 만든 그래프이므로 아래와 같은 그래프가 나오겠지요.

 

 

 

 

 

또...

y=sin(-x)의 그래프는 y축대칭이므로 y축으로 대칭한 그래프가 나올텐데

재미있게도 y축 대칭과 똑같은 그래프가 나옵니다. 음각공식을 통해서도 증명할 수 있지요.

→ y = sin(-x) = - sinx

 

 

 

 

 

y=-sinx / y=sin(-x)

⇒ y축 대칭이동하거나 x축 대칭이동한 싸인그래프의 최댓값, 최솟값, 주기는 변하지 않는다.

 

ⓑ 

x의 계수에 실수배가 되어있는 패턴이죠.

이럴 땐 그래프가 어떻게 달라질까요?

먼저 이 그래프를 우리가 그려야 하는것은

0도에서 360도까지 정의역의 구간을 90도 간격으로 만드는 일입니당

 

밑그림도 그렸으니 이제 생각해봅시다.

정의역이 0˚에서 360˚(0 ~ 2π)만 생각해서 그래프를 그리려고 합니다.

y=sin2x에서 x이 범위를 0˚에서 360˚까지만 생각해서 그려넣어야 하는데

x가 0이면 y=sin2x는 y=sin0이 될 것이고

x가 90˚라면 y=sin2x는 y=sin180˚가 될 것이고

x가 180˚라면 y=sin2x는 y=sin360˚가 될 것이고

x가 360˚라면 y=sin2x는 y=sin720˚가 될 것이죠.

제가 무슨 말을 하려고 하는지 감이 오시나요?

모르겠지요?

 

x가 360˚라면 y=sinx는 y=sin360˚가 되겠지만 y=sin2x에서는 y=sin720˚가 되어버립니다.

 

조금 다르게 생각해볼까요?

x가 0입니다. 조금씩 조금씩 키워서 360˚까지 계속 늘릴겁니다.

x를 0에서 360˚까지 올릴 때, y=sinx에서는 y=sin0˚에서 y=sin360˚까지 똑같이 조금씩 올라갈 거에요.

그런데 x를 0에서 360˚까지 조금씩 계속 올릴 때, y=sin2x는 x가 상승하는 속도의 2배만큼 빠르게 올라갑니다. 맞나요?

x가 0에서 180도까지 올라가면 y=sin2x는 y=sin0에서 y=sin360˚까지 변화합니다.

그리고 x가 360도까지 올라가면 y=sin2x는 y=sin720˚까지 올라가지요. 두 배 빠르게 올라가지요. 맞죠?

 

즉, x가 0부터 360˚까지 움직일 때, y=sinx는 y=sin0에서 y=sin360˚까지 그려지지만

y=sin2x는 sin0에서 sin360˚는 물론, sin360˚에서 sin720˚까지의 그래프도 그려진다는 의미입니다.

 

y=sin2x의 그래프를 정리하면

① x가 0˚에서 180˚까지는 sin0 ~ sin360˚가 그려지고

 

② x가 180˚에서 360˚까지는 sin360˚ ~ sin720˚가 그려진다는 의미입니다.

모든 각은 360가 빼거나 더해도 값은 같으므로 sin360˚~sin720˚ =  sin0~sin360˚이므로

결국 sin0~sin360˚의 그래프가 x값들만 축소되서 2개를 그려주면 됩니다.

또한 여기서 주기가 2배로 줄어드는 것을 보실 수 있는데

이 현상은 sin의 그래프가 2배로 빠르게 그려지면서 생기는 현상입니다.

 

즉, sinx는 x가 0도에서 360도로 움직일 때 (sinx는 sin0부터 sin360˚까지 움직이지만),

y=sin2x에서는 2라는 계수 때문에 x가 0도에서 180도만 움직여도 sin0에서 sin360˚까지 두 배 빠르게 나타내 버리므로

주기도 2배로 줄어든다는 소리입니다. (y=sin2x의 주기는 원래주기의 2π에서 x의 계수인 2를 나눠야 하므로 π가 됩니다.)

( 그러나 최댓값과 최솟값은 변화하지 않습니다. )

 

 

 

정리 : 는 x가 0에서 증가할수록 2배로 빠르게 증가하므로 sin값또한 2배 빠르게 그려진다.

또, 그러한 성질 때문에 주기는 2배로 줄어들게 됩니다.

이면

최댓값 : 1

최솟값 : -1

주기 :  

(분모에 절대값을 넣는 이유는 주기는 항상 양수여야 하는데 a가 음수도 될 수 있으므로 절대값을 넣은 것입니다.

x의 계수인a가 음수라는 의미는 y축대칭인데 최댓값, 최솟값, 주기에 아무런 영향을 미치지 못하지요.)

 

 

 

 

 → y=sin3x

y=sinx보다 3배 빠르게 그리면 된다. = 주기를 이용하여 2π(원래주기)를 3(x의 계수)으로 나눈 (120˚)의 주기로 싸인 그래프를 그려주면 된다.

= 0~360˚까지 싸인 그래프를 3개 채워 넣으면 됩니다!

 

최댓값 : 1

최솟값 : -1

주기 :  (120˚)

 

 

 

 

 

 

 

y = sinax

⇒ x에 붙어있는 계수는 최댓값, 최솟값에는 영향을 주지 않지만 주기를 변화시킨다.

 

 

 

 

 

 

ⓒ 

sin전체에 실수배가 되어있는 패턴입니다.

역시 밑그림을 그려야 합니다. 0에서 360˚까지 90도씩 끊어져 있게 그립시다.(정의역이 0에서 360˚까지만 구할 것입니다.)

그런데 y=2sinx에서 0에서 360˚까지의 정의역만 생각할 것인데, sin전체에 2를 곱했으므로

sin의 모든 지점에서 y값이 2배만큼 늘어나게 됩니다.

즉, sinx의 최댓값 최댓값인 1과 -1이 두배만큼 각각 늘어나므로 2sinx는 최댓값이 2, 최솟값이 -2가 됩니다.

그래프를 그리면 아래와 같이 sinx를 위아래로 잡아당긴 그래프와 같이 되겠지요.

 

또 한가지 더 생각해야 할 것이..

인데 앞에 붙은 상수가 양수뿐만 아니라 음수가 올 수 있습니다.

y=-3sinx처럼요.

이럴때의 -는 역시 x축 대칭입니다.

x축대칭은 최댓값, 최솟값, 주기에 아무런 영향도 주지 않으므로

y=3sinx에서의 최댓값, 최솟값, 주기를 구하는 것처럼 구하면 됩니다.

각각 3, -3, 2π가 되죠.

그런데 만약 y=asinx의 최댓값 최솟값을 구하라고 한다면

최댓값 : a, 최솟값 : -a

이렇게 쓰고 넘어간다면 틀려버립니다.

왜냐하면 a가 음수일 수도 있기 때문에 최댓값이 음수가 되고 최솟값이 양수가 되는 것은 말도 안되기 때문입니다.

따라서 이럴 때는 절대값을 활용해서, 최댓값 : | a |, 최솟값 - | a |

이렇게 쓰면 됩니다!!

 

 

 

→ y=3sinx

위아래로 3배 늘린 그래프가 된다.

 

y = asinx

⇒ 싸인 전체에 붙어있는 상수는 주기를 변화시키지 않지만, 최댓값, 최솟값을 변화시킨다.

최댓값 : |a|

최솟값 : -|a|

 

 

 

 

 

ⓓ 

이것은 딱 봐도 y=sinx를 x축 방향으로 만큼 평행이동한 함수입니다.

기억나시죠?

x방향으로 a만큼 평행이동이라면 함수식에서 x가 x-a로 변화합니다.

또, y방향으로 b만큼 평행이동해도 y가 y-b로 변하지요.

 

 

 

 

 

왼쪽의 sinx를 만큼 평행이동하면 빨간색 그래프가 됩니다.

 

 

 

 

 

이 평행이동된 그래프를 그릴 때는

 

왼쪽의 그림에서처럼 미련하게

sinx그래프를 그린다음 진짜 옮겨서 그리지 마시고

 

처음부터

각 구간에 평행이동된 만큼 보조선을 그려주시고

거기에 맞춰서 그래프를 끼워서 그려주면 편합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그런데 얼마만큼 평행이동했는지 알려면 x뒤에 달려있는 상수항만 보면 된다고 착각하는 사람이 있어요.

예를 들어, y=-sin(2x-π)의 그래프는 y=-sin2x를 π만큼 평행이동한 것이라고 생각해버리면 안되거든요.

 

x의 계수가 1이라면 바로 뒤에 있는 상수항만큼 평행이동이 맞지만 계수가 1이 아니라면 달라진답니다.

y=-sin(2x-π)라는 삼각함수가 y=-sin2x가 평행이동했다는 사실은 알 수 있지요?

이럴때는 y=-sin(2x-π)에서 (2x-π)를 2로 끌어내어  로 변형하면 보기 쉽습니다. (x의 계수로 나눠준다는 표현이 더 와닿지요.)

 

따라서 y=-sin(2x-π)는 y=-sinx을 x방향으로 π만큼이 아닌, 만큼 평행이동했다는 것을 유의시길 바랍니다. 해깔리는 사람이 많습니다. 유의하세요!!

 

x축 평행이동 ( y=sin(x+a) )

⇒ 최댓값, 최솟값, 주기에 영향을 주지 않는다.

 

 

 

ⓔ

 

이 패턴도 평행이동입니다. 얼마큼 평행이동된 함수일까요?

상수항 1을 좌변으로 이항하여

(y-1) = sinx라고 놓으면

y=sinx이 y축방향으로 1만큼 평행이동한 함수라는 것을 금방 아실겁니다.

 

그림으로 그리면 y=sinx가 위쪽으로 한칸 올라간 그래프가 되겠지요.

그로인해서 최댓값, 최솟값도 1씩 증가하는 그래프가 나옵니다. 주기는 변하지 않고요.

최댓값 : 2

최솟값 : 0

주기 : 2π

 

 

 

y = sinx + a

⇒ 최댓값, 최솟값에 영향을 준다.

최댓값 = 1+ a

최솟값 = -1 + a

 

 

 

 

 

이제 다 배웠습니다. 정리할게요.

 

ⓐ  : 주기를 변화시킴

ⓑ : 최댓값, 최솟값을 변화시킴

ⓒ  : 최댓값, 최솟값, 주기에 영향을 주지 않음

ⓓ  : 최댓값, 최솟값, 주기에 영향을 주지 않음

ⓔ : 최댓값, 최솟값을 변화시킴

 

 

짬뽕해서 정리해볼까요 ㅋ

 

 

한가지 팁은 최댓값 최솟값에서 d는 제일 나중에 추가해주는게 좋습니다.

 

 

 

 

이해가시나요? 주기에 영향을 주는 것은 x의 계수이고,

최댓값, 최솟값에 영향을 주는것은 싸인전체에 곱해져있는 상수와 전체에 더해진 상수입니다.

이것은 그래프를 굳이 그려보지도 않고도 나올 수 있어야 합니다.

이해는 되시잖아요? 왜그런지 다 이해하고 넘어갔으면

쉽게, 저절로 외워질겁니다. 논리로 외우셔야하지 왜그런지도 모르고 암기만 하시면 절대 안됩니다!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

예제 (드래그하면 최댓값과 최솟값, 주기가 나옵니다.)

(각은 라디안으로 표기해주세요.)

 

1)

 

 

최댓값 : 2

최솟값 : -2

주기 :  2π/3 (3분의 2파이)

 

 

2)

 

 

최댓값 : |a|

최솟값 : -|a|

주기 :  2π/3 (3분의 2파이)

 

 

 

3)

 

 

최댓값 :  0

최솟값 :  -4

주기 : 2π/3 (3분의 2파이)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

하나 더 설명하도록 하겠습니다.

문제와 관련된 설명인데요

아래의 문제가 있다고 한다면 어떻게 푸시겠습니까?

 

y=-2sin²x+sinx+1의 최댓값, 최솟값을 구하시오.

 

치환해야 합니다. 이 상태로는 구할 수 없습니다.

sinx를 t로 치환하면 y는 t에 관한 식으로 바뀝니다.

그런데 치환할 때, 반드시 치환하는 문자의 범위를 반드시 써줘야 하는데

sinx는 최솟값이 -1이고 최댓값이 1

sinx는 항상 -1보다 크거나 같은 값을 가지고 1보다 같은 값을 가집니다. (-1≤sinx≤1)

 

sinx = t로 치환하자. (-1≤t≤1)

그러면 y=-2sin²x+sinx+1라는 식은 y=-2t²+t+1이라는 식으로 바뀝니다.

 

그래프를 그리면 최고차항의 수는 음수이므로 아래와 같이 그리면 됩니다. (초간단하게 그립시다. x축, y축은 생략)

 

여기서 꼭지점의 x좌표는 구할 수 있지요? ax²+bx+c라면 -2a분의 b입니다.

y=-2t²+t+1는 x가 아니라 t에 관한 식이므로, 꼭지점의 t좌표는...이므로 ¼이 됩니다.

그런데 t의 범위가 (-1≤t≤1)이므로 범위에 맞는 그래프만 남겨두면 아래와 유사한 그래프가 남습니다.

(¼는 -1과는 좀 더 멀고 1과 더 가까우므로 아래와 같은 그래프가 나옵니다.)

 

위의 그래프에서 최댓값은 t가 ¼일 때의 y값이고, 최솟값은 t가 -1일 때의 y값이지요.

y=-2t²+t+1의 t에 각각 ¼과 -1을 대입해 최댓값과 최솟값을 구하면 됩니다.

 

열심히 풀어보세요~

 

 

 

 

 

 

 

 

아래의 문제는 어떻게 풀까요?

 

y=sin²x+2cosx-1

 

어렵나요?

sin²x을 cos²x로 바꿀 수 있다면 쉬운 문제가 되겠죠?

sin²x + cos²x =1을 sin²x = 1 - cos²x로 바꾸면 됩니다!!

 

즉, y=sin²x+2cosx-1은 y=-cos²x+2cosx의 문제로 바뀌게 됩니다.

이것역시 치환으로 열심히 푸시면 됩니다~

 

 

 

 

정리

 

 

(x의 구간이 주어지는 경우에는! tan의 최댓값과 최솟값은 구할 수 있어야 한다.)

 

 

# 아래와 같은 경우의 문제는

y=-2sin²x+sinx+1

치환하여 풀어야합니다. 치환할 때, 범위를 잘 세우셔서 푸시길 바랍니다.

 

 

# 싸인제곱이나 코싸인제곱은 서로 바꿀수 있으니 이 점도 알고 계셔야 합니다.

 

[출처] 제12장 삼각함수 : (7) 삼각함수의 그래프 Ⅱ|작성자 SperoSpera