역함수

역함수

● 역함수의 개념

 

역함수는 처절한 복수극입니다.

보통 일반적인 함수는 미팅에 비유하면 정의역인 남자가 공역인 여자에게 화살을 쏘는것이잖아요?

역함수는요.. 반대로 여자가 들고 일어나는겁니다!!!

화살을 맞은 여자가 자신에게 화살을 쏜 남자한테 그대로 다시 화살을 쏴버리는 형태의 함수가 역함수입니다.

또, 함수를 기호로 표기할 때는 지수에 -1을 붙여서 표기하게 됩니다.

예를 들어 f의 역함수는 라고 표시하지요.

 

 

아래의 그림을 보면 어떤 느낌인지 아실겁니다.

 

검정글씨로 x→y의 함수를 f라고 한다면 주황색글씨가 f의 역함수가 되는 거지요.

맞은년이 그대로 쏜놈에게 화살을 다시 쏘는 함수가 역함수랍니다! ^^ ㅋㅋ

 

이 함수f와 역함수의 대응관계는 아래와 같이 만들 수 있지요.

f(1)=4   f-¹(4)=1

f(2)=6   f-¹(6)=2

f(3)=5   f-¹(5)=3

(f-¹는 f의 역함수)

 

 

역함수의 개념이 확실히 이해되셨나요?

 

 

 

 

 

 

그렇다면

아래의 함수도 보시죠.

 

 

 

일단 f는 함수가 맞습니까?

 ' All & one '을 만족하므로 함수가 맞습니다.

 

그렇다면 이 함수의 역함수는 어떻게 될까요..

아래처럼 되겠죠.

역함수를 주의깊게 보시길 바랍니다.

느끼시나요? 아무것도 안느껴지나요? ㅇㅇ?

잘 보면 위의 역함수는 함수의 조건을 만족하지 않습니다.

함수가 성립하려면 화살을 쏘는 모든 사람이 한발씩만 모두 쏴야하잖아요.

하지만 역함수에서는 5라는 여자가 2와 3번 남자에게 화살을 보냈잖아요. 이러면 함수가 성립되지 않죠?

또한, 6번은 화살을 쏘지도 않네요.  

이럴 때는 f의 역함수는 존재하지 않는다고 표현합니다.

 

이 말은 역함수는 모든 함수에서 존재하는 것이 아니고, 특정한 성립조건에 만족해야만 역함수가 존재한다는 것입니다.

그렇다면 역함수가 성립하기 위한 조건이 뭘까요. 

방금 본 함수에서 왜 역함수가 존재하지 않는지 잘 봐야 하겠지만

 

원래의 함수에서 화살에 맞는 사람도 결국엔 역함수에서는 다시 쏘게되니까

역함수가 존재하려면

원래에 함수에서 화살을 쏠 때, 화살을 맞는 이도 한발씩만 맞도록 고려하고 쏴야 한다는 것입니다.

원래에 함수에서 화살을 2발 이상 맞는사람이 있으면, 역함수에서는 그 사람은 2발 이상 쏴버리는 난동꾼으로 바뀌고

화살을 안맞는 사람이 있다면, 역함수에서 화살을 안쏘게 되버리니까 말이지요~!

무슨소린지 아시겠나요?

 

정리하면

역함수가 성립하려면

원래의 함수에서 화살을 맞는 사람이 1발씩만 맞아야 하므로

결국 맞는사람과 쏘는사람이 1:1로만 만나야 하며

화살을 안맞는 즉, 낙오자가 생기지 않아야 하므로

역함수의 존재조건은 "주어진 함수의 일대일대응"이라고 결론 지을 수 있습니다.

 

일대일 대응을 구별하는 판정법 기억하고 계신가요? 그래프가 지나는 모든 지점에서 가로선을 그었을 때, 1점에서만 만나야 한다가 일대일 판정법이죠?

그래프가 주어졌을 때, 역함수의 존재의 유무도 마찬가지로 가로선을 그었을 때, 2점 이상에서 만나는 경우가 하나라도 있으면 역함수는 존재하지 않게되고

가로선이 모든 지점에서 한 점에서만 만나고 공역과 치역이 일치하면 역함수가 존재한다 이겁니다.

 

 

 

● 식이 주어진 함수에서 역함수의 식을 찾는법

 

역함수는 쏘는사람과 맞는사람의 역활이 바뀌는거잖아요?

즉, 쏘는 쪽인 x(정의역)의 입장과 맞는쪽의 y(공역)의 입장을 바꾸는 것이 역함수인데

실제로 식을 주어진 함수가 있는데 그 함수의 역함수를 구하라고 한다면 역함수 뜻 그대로 x라는 문자와 y라는 문자를 서로 바꿔주면 됩니다.

만약 y=2x-1이라는 함수가 있다면 이 함수의 역함수는 y대신 x를 넣고 x대신 y를 채워넣은 x=2y-1이 역함수가 됩니다.

x=2y-1를 이쁘게 y에 관한 식으로 정리하면 y= ½x + ½입니다.. 안예쁘네요.

 

 

그니까 역함수를 구하라는 문제는 껌입니다. x, y를 바꾸면 되니까요.

 

 

 

 

여기까지 역함수의 개념과 역함수식을 찾는법을 배웠는데

역함수를 배운 또다른 이유는 뭔지 아십니까? 역함수의 식을 찾지 않고도 문제를 풀 수 있기 위해서 입니다.

 

역함수는 x랑 y를 바꾸는 것이기 때문에 우리는 언제나 그냥 함수의 대응관계를 역함수의 대응관계로 바꿀 수 있습니다.

예를 들어서 역함수가 존재하는 f라는 함수에서 f(1)=3이라면 숫자의 잘만 바꿔서 f-¹(3)=1 도 성립하게 됩니다.(처음에 배웠듯이요.)

반대로 역함수가 먼저 주어졌다고 해도 숫자만 바꿔서 대응관계를 바꿔버릴수도 있지요 f-¹(2)=5이라고 주어졌으면 f(5)=2도 성립하지요.

 

 

만약 문제에서

f(x)= 2x+1라는 함수가 있는데 f(3)을 구하라고한다면 문제가 너무 쉽죠? f(x)의 x에 3을 대입해면 f(3)이 나오잖아요.

x대신 3을 대입하여 f(3)= 2×3+1이므로 f(3)=7이 답입니다.

 

그런데 중요한건 역함수에요

만약 똑같은 f(x)= 2x+1에서 f-¹(3)을 구하라고 한다면 어떻게 구할까요.

물론 f의 역함수의 식을 구한다음 3을 대입해도 되요. 그런데!!

우리는 그냥 함수의 대응관계는 언제나 역함수의 대응관계로 바꿀 수 있다고 배웠잖아요?

이것을 활용하기 위해 역함수를 배웠다고해도 과언이 아닙니다.

 

구하고자하는 답 f-¹(3)를 k라고 놓습니다. →    f-¹(3) = k

대응관계를 바꾸면 f(k)=3가 되지요. 이 f(k)=3를 해석하면 f(x)의 x에 k를 넣었을 때, 전체값은 3이 된다입니다.

f(x)=2x+1이므로 x대신 k를 대입하면 f(k)=2k+1이고 이 값은 3이 되야 하므로 f(k)=2k+1=3이므로

 

2k+1=3의 값을 풀면 k가1인 것을 알 수있지요. 

어때요.

역함수를 구하지 않고도 문제를 풀 수 있답니다.

왜 이렇게 해야하느냐

우리는 sin(사인)함수라던가 cos의 역함수인 아크사인, 아크코사인 등의 고등학교과정에서 배우지 않는 함수가 존재하지만

시험에서는 나온 경우가 많기 때문입니다.

역함수의 성질을 기억하고 있으면 쉽게 풀리기 때문에

아크사인이나 그런 역함수를 직접 구하지 않고도 역함수의 값을 구할 수 있어야 한다는 이야기입니다.(배웠던것 처럼요)

 

 

 

정리

역함수의 존재조건 = 함수가 일대일 대응

역함수를 구하는 법 = y에 x를 대입, x에 y를 대입(y와 x를 서로 바꾼다.)

그래프가 주어졌을 때 역함수의 존재조건 = 가로선을 그어 모든 점에서 그래프와 한점에서만 만나면 역함수는 존재함

역함수를 직접 구하지 않고 역함수의 값을 구하는 법 함수와 그의 역함수의 대응관게를 이용(아래 그림 참고)

 

[출처] 제5장 함수 - 역함수|작성자 SperoSpera