일대일 함수와 일대일 대응
일대일 함수라는 것을 미팅에서 적용시켜 보면 정말 아름다운 광경이 아닐 수 없습니다.
물론 미팅에서 이런 경우는 흔치는 않은데요.
아래와 같이 남자(정의역)가 여자(공역)을 선택할 때, 여자가 겹치지 않게 선택이 되는거에요.
이런 경우를 일대일 함수라고 합니다.
일대일 함수는 여자가 화살을 두발 이상 맞는 경우가 없고 한발씩만 맞는거에요. 이런 경우를 일대일이라고 표현합니다.
아름답죠. 싸울 일이 없잖아요..
그런데 일대일 대응이라는 것은 일대일 대응보다 더 아름답습니다.
일대일함수는 불쌍한 사람이 발생하기도 하잖아요.
누굴까요?
7번 보세요.
실제 미팅이었다면 혼자 화장실에 가서 담배 한대 피고 집에 갈거아니에요. ㅋ
일대일 대응은 이런것도 용납하지 않습니다. 낙오자가 없어야해요,
일대일 대응은
가장 이상적인 모습을 띄는 아무도 울지않는, 그런 상태가 일대일 대응입니다.ㅋㅋ
어떤 것인지는 아시겠죠?
일대일 함수는 일대일인 상태면 성립하고, 일대일 대응은 일대일인 동시에 우는애가 없어야 한다는 거에요. ㅋ
이 '일대일'로 만나는 것을 약간 수학적으로 말하자면 "각각의 남자는 서로다른 여자를 선택해야 한다."입니다.
다른 말로 하자면 "남자에 따라, 선택하는 여자도 서로 다르다."입니다. 맞죠?
이것을 수학적으로 표현하자면 "정의역(x)이 서로 다르면 정의역이 선택하는 공역(y, 함숫값)이 서로 다르다."이고
이 말을 수식으로 쓰면, "x1≠x2이면, f(x1)≠f(x2)"고 하게 되는거에요. 마지막 결론인 수식은 반드시 알고 넘어가셔야 합니다.
또, 명제 편에서 배웠듯이.. 어떤 명제가 참이라면 언제나 그 명제의 대우명제도 참입니다.
결국 무슨 소리를 하려고 하자면
"x1≠x2이면, f(x1)≠f(x2)"가 참이라면 "f(x1)=f(x2)이면 x1=x2"도 참이기에 같은 말이기 때문에
함께 외우시면 됩니다.
아무튼 이것이 '일대일'의 조건이고
'우는 애가 없어'야할 조건은 약간 수학적으로 말하자면 "여자애들 모두가 화살을 맞아야 한다"입니다.
조금 더 수학적으로 표현하자면 "공역인 여자애들이, 실제로 화살을 맞은 여자인 치역이 되어야 한다"입니다.
...치역 기억나시나요? 실제로 화살을 맞은 사람이 치역입니다. 여자애들전체가 공역이고요.
즉, 수학적으로 "공역과 치역이 같아야 한다"가 '우는 애가 없을 조건'(?)입니다.
따라서 일대일함수와 일대일대응의 조건을 만들 수 있습니다.
일대일 함수 : "x1≠x2이면, f(x1)≠f(x2)"
일대일 대응 : "x1≠x2이면, f(x1)≠f(x2)" and "공역=치역"
그래프에서 쉽게 일대일 함수를 찾는 방법을 알려드리겠습니다.
위의 그래프를 잘 보세요.
한 y의 값이 두개의 x값에서 만나게 됩니다.
즉, 남자 두명이 한 여자를 선택하게 된겁니다. 이럴 때는 일대일함수나 일대일 대응이 되지 않겠죠.
따라서 가로선을 그었을 때, 두 점 이상에서 만나면 일대일함수/대응이 아니고 한점에서만 만나야 일대일 함수입니다.
또, 일대일 대응이 되려면 한점에서 만나고 그래프가 위의 끝에서부터 아래끝까지 즉, 주어진 공역에 모두 그래프가 존재해야 합니다.
=> 가로선 : 일대일 함수 판정법
(세로선은 함수 판정법)
=> 일대일 대응은 모든 공역에 그래프 존재해야함.
(5) 상수함수, 항등함수
상수는 영어로 Constant라고 합니다. 아시다시피(?) constant뜻은 변함이 없다는 뜻(끊임없는, 변화없는)입니다.
물론 상수 자체 의미는 1이나 2, 3, 4....처럼 변하지 않는 숫자를 의미하고요.
상수함수도 비슷한 의미입니다.
만약 아래처럼
정의역의 1, 2, 3, 4 모두 2를 선택한다면 어떤사람은 올인(?)이라고도 하는데
어쨌든 "변함없이" 모두 2를 선택하는 느낌이 상수함수입니다.
그래프로 표현하자면 아래와 같습니다.
x값이 변해도 y값은 항상 일정하게 같은 값을 유지하는 것이 상수함수라고 하는 것이죠.
참고로 "y=x에 관한 1차식"을 1차식이라고 부르고, "y=x관한2차식"을 2차식이라고 부르고 "y=x관한무리식"을 무리식, "y=상수"일 때 상수함수라고 부릅니다. 따라서 상수함수의 함수식은 y=2 이런식으로 생깁니다.
항등함수는 지구상에서 하나밖에 없습니다.
항상 자신과 같은 값에 화살을 쏘는 분위기를 항등함수라고 표현합니다.
이렇게 이야기 하니까 조금 어렵나요?
아래를 보세요..
이해가 가시는지 모르겠지만
자기 자신에게 화살을 쏘는 것은 항등함수라고 부릅니다.
이 y=x를 굳이 항등함수라는 함수의 이름을 지어서라고 부르는 이유는 역함수에도 나오기 때문입니다.
다음시간에 역함수를 배웁니다!
정리
일대일 함수 : 각각의 남자는 서로다른 여자를 선택해야 한다 ⇒ x1≠x2이면, f(x1)≠f(x2)
일대일 대응 : 각각의 남자는 서로 다른 여자를 선택해야 하고, 모든 여자가 선택당해야 한다. ⇒ "x1≠x2이면, f(x1)≠f(x2)"and "공역=치역"
("x1≠x2이면, f(x1)≠f(x2)"는 "f(x1)=f(x2)이면 x1=x2")
판정법 : 가로선을 그어서 모든 지점에서 한점에서 만나면 일대일 함수이다.
상수함수 : y=상수이며, x가 하나의 y만 선택하는 것
항등함수 : y=x이며, x는 항상 자기자신과 똑같은 것만 선택한다.
[출처] 제5장 함수 - 일대일함수와 상수함수, 항등함수|작성자 SperoSpera