대칭이동
대표적인 대칭이동인 x축대칭, y축대칭, 원점대칭, y=x대칭, y=-x대칭, x=a대칭, y=a대칭, 점대칭을 공부하기 전에
대칭이동은 선대칭과 점대칭으로 나누어져있기 때문에
선대칭과 점대칭의 기본적인 부분부터 공부하도록 해요.
◆ 선대칭
데칼코마니라고 들어보셨습니까?
종이를 반으로 나누어서 한쪽면에다 나비모양으로 물감을 진하게 발라서 반으로 접어서 피면 나비가 되잖아요?
ㄱ,ㄹ;ㅁ출처 : doopedia.co.kr
선대칭 또한 같은 개념인데
어떤 점을 한 직선에 대해서 대칭하라는 것은 데칼코마니처럼 선을 기준으로 접는 것처럼 이동해 주면 되고,
데칼코마니를 모르면 거울이라 생각해도 좋습니다.
(직선에대한 대칭 = 선대칭)
◆ 점대칭
반면, 한 점을 기준이 되는 다른 한 점에 의해 대칭이동시킬 때,
아래 그림과 같이 점대칭은 접는다기 보다는 기준이 되는 점이 중점이라고 보시는게 좋습니다.
다른말로, 대칭시켜야 할 점을 기준이 되는점으로 일직선으로 선을 긋고, 선을 그은 만큼 더 연장선을 그은 그곳이 대칭된 점이 되는 것입니다.
(점에대한 대칭 = 점대칭)
하지만 이러한 점대칭에 대한 생각은 점을 대칭시키는 것이아닌 그래프를 점대칭시킬 때, 막혀버립니다.
그러나
점대칭은 언제나 선대칭 두개로 바꿀 수 있습니다.
이 사실만 기억하면
그림으로도 손쉽게 점대칭을 할 수 있게됩니다.(방법은 바로 아래에 있지요)
점대칭은 그 점에서 십자가로 교차하는 2개의 선을 그어서 대칭하는 대상을 만들어진 2개의 직선에 모두 대칭해 주면 됩니다!!.
아래의 그림은 십자가를 그려서 만들어진 2개의 선으로 y=f(x)를 점 A의 기준으로 대칭하는 방법을 설명한 것입니다.
최선을 다했지만 난잡할지도 모르겠네요.ㅜ
(1) x축 대칭, y축 대칭, 원점대칭
● x축에 대해서 대칭하라!
( 3 , 1 )을 x축에 대하여 대칭이동 해보자.
⇒ 대칭하고자하는 점의 y의 부호가 바뀝니다.
● y축에 대해서 대칭하라!
( 1 , 2 )를 y축을 기준으로 대칭이동 해보자.
⇒ 대칭하고자하는 점의 x의 부호가 바뀝니다.
● 원점에 대해서 대칭하라!
( 3 , 5 )를 원점을 기준으로 대칭해보자.
⇒ 대칭하고자하는 점의 x , y 둘 다 부호가 바뀝니다.
(점대칭은 항상 십자가를 그리고 그려진 두 개의 선에 대칭인것과 마찬가지이므로 원점대칭은 x축대칭, y축대칭을 모두 한것과 같습니다!!)
(3) y=x대칭, y=-x대칭
y=x대칭은 조금 어려운데요..
y=x라는 직선은 좌표평면에서 x와 y의 좌표가 일치하는 점들을 모은 직선입니다.
일단 ( 5 , 3 )을 y=x를 기준으로 대칭한다고 하자면 아래와 같은 그림이 됩니다.
그럼 대칭된 점의 좌표를 구해보도록 하겠습니다.
정리하면 ( 5 , 3 )을 y=x대칭하면 ( 3 , 5 )가 됩니다.
즉, y=x 대칭하면 x와 y를 바꿔주면 된다는 결론이 나옵니다.
y= -x대칭까지 결론만 내줄게요.
y=-x대칭하면 x와 y를 바꿔주면서 부호도 바꿔줘야 합니다.
예를 들어, ( a , -b)를 y=-x대칭하면 ( b , -a )가 됩니다.
과정은 조금 복잡해 보일지 모르나 진심 쉽습니다. 여기가 '글'의 형식이라 무엇을 설명하기가 무척 까다롭습니다.
무리한 기대일지도 모르지만 처음 배우는 사람도.. 이해됐기를 바랍니다. ㅜ
(3) x=a, y=b대칭, 점대칭
이것은 처음에 배운 선대칭이랑 같습니다.
x=a직선은 y축에 평행한 직선인데요.
만약 x=2라는 직선을 그리고 싶다면 x좌표가 2인곳 아무곳이나 잡아서 y축에 평행하도록 세로로 평행하게 그어주시면 됩니다.
어쨌든 x=a의 직선을 기준으로 대칭하려면, 직선을 평균으로 삼아 대칭된 점의 좌표를 잡아주시면 됩니다.
무슨소리냐?
예를 들어, 점 (3 , 5)를 x=5라는 직선에 대칭이동한 점을 (a , b)라고 한다면,
아래 그림에서 보시다시피 높이(y좌표)는 변하지 않을테니까 b는 그대로 5가 되고요.
x좌표는 원래 점과 대칭된 점과의 중점이 x=5의 5가 되면 됩니다.
즉, 원래 점의 x좌표인 3과, 대칭된 점의 x좌표인 a의 평균이 직선의 값인 "5"가 되도록 a를 구해주면되므로
점의 x과표끼리 각각 더해서 2로 나누면 평균이 나오므로
평균을 이용하면 (3+a)/2 = 5 라는 식을 세워 a=7임을 구할 수 있습니다.
따라서 대칭된 점은 ( 7 , 5 )입니다.
이것을 공식화 시켜서 외우고 싶다면 기준이 되는 직선을 찾아서
그 직선에 붙어있는 상수(x=3이라면 3이 상수)에 2배를 곱해서 원래점의 x값을 빼면 대칭점의 x좌표가 나오고, y좌표는 변하지 않습니다.
외울땐 ⇒ "2배 마이너스 x"라고 간단히 외웁시다.
아니면 이렇게 풀이해도 상관 없습니다.
위에 그림에서 보면서 따라와주세요.
(3 , 5)에 x=5의 직선이 대칭한다고 y가 변하는 것은 아니므로
(3 , 5)에 (3 , 5)에 x=5대칭한 점을 (a, 5)의 중점이 x=5라는 직선을 기준으로 대칭한다면 3에다가 2를 더해야 x=5의 상수인 5가 나오므로 5에다가도 2을 더하면 대칭인 점이 나옵니다.
평균을 이용한 거잖아요? 당연하겠죠.
예를 들어, (1, 3)을 x=2에 대칭하려고 한다면
대칭점의 x좌표는 직선의 상수에 2배한 다음 x좌표를 빼야하는데
직선의 상수는 2이므로 2에 2배하여 x좌표인 1을 빼면 2×2-1 = 3이 나옵니다.
또, y좌표는 변하지 않으므로 대칭점의 좌표를 (3, 3)이라고 구하면 되지요.
y=b도 같은 방법으로 하면 됩니다.
공식화 시키자면 "2배 마이너스 y"
(직선에 붙어있는 상수에 2를 곱해서 대칭이동시키고자 하는 점의 y값을 빼면 됩니다. x값은 변화하지 않습니다.)
예제)
(1, -2)를 y=4에 대칭해보세요.
대칭한 점의 x좌표는 변하지 않으므로 대칭한 점을 ( 1, a )라고 두면
-2이와 a의 평균(중점)이 y=4의 4가 되어야 하므로
구하면
a는 10이 됩니다. (검산;;ㅋ 10과 -2의 평균이 4가 되므로 맞음)
따라서 대칭한 점은 (1, 10)이라는 것을 구할 수 있습니다.
점대칭은 앞에서 배웠듯이 십자가를 그려서 그 두개의 직선에 대칭시키면 됩니다.
만약 어떤 점을 (1 , 2)에 대칭이동하라고 한다면 x=1, y=2대칭을 둘 다 해주면 됩니다.
아니면 대칭의 기준이 되는 점이 평균점이라고 생각하면 됩니다.
예를 들어 (1 , 3)을 ( 5 , 2 )에 대칭이동하라고 한다면 ( 1 , 3 )을 x=5, y=2에 대칭해주면 (9 , 1)임을 알 수 있습니다.
아니면 (1 , 3)와 ( a, b)의 중점이 기준이 되는 ( 5 , 2 )이므로 평균을 이용하여 a=9, b=1인 것을 알 수 있지요.
점 ( 1 , 3 )을 대칭이동하자.
x축대칭 : y의 부호를 바꾼다. ( 1 , -3 )
y축대칭 : x의 부호를 바꾼다. ( -1 , 3 )
원점대칭 : 둘 다 부호를 바꾼다. ( -1 , -3 )
y=x대칭 : x와 y를 바꾼다. ( 3 , 1 )
y=-x대칭 : x와 y를 바꾸면서 부호도 바꾼다. ( -3 , -1 )
x=a대칭 : 2배 마이너스 x = ( 2a-1 , 3 )
y=b대칭 : 2배 마이너스 y = ( 1 , 2b-3 )
(a , b)대칭 : 2배 마이너스 x , 2배 마이너스 y = (2a-1, 2b-3)
[출처] 제4장 평행이동과 대칭이동 - (2) 대칭이동|작성자 SperoSpera
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